Betrag Fallunterscheidung, warum prüft man Betrag <=0?

Question

Aufgabe:

Wenn der Betrag immer positiv ist, warum prüft man dann bei einer Fallunterscheidung im Fall Betrag < 0 was passiert wenn man das Innere des Betrags mit *(-1) multipliziert um die Lösungen einer Gleichung zu finden?

Problem/Ansatz:

z.B bei dieser Aufgabe

|x − 5| = 2 x − 11

Prüfe ich ja die Fälle x-5 >= 0. Dann löse ich auf zu x-5.

Und den Fall x-5<0. Dann wird aus der linken Seite - *(x-5). Warum muss ich das tun um auf die Lösungen zu kommen?

Irgendwie habe ich gerade ein Brett vorm Kopf. Wenn der Betrag immer positiv ist, warum ist dann |x| für x>0 positiv und für x kleiner Null negativ?

Answer 1

Hallo,

vielleicht wird es mit einer vereinfachten Gleichung klarer.

|x|=2

hat ja die Lösungen 2 und -2.

Das kann durch die Fälle x≥0 und x<0 ermittelt werden.

x≥0 → x=2

x<0 → -x=2 → x=-2

Du musst also unterscheiden, ob der Term zwischen den Betragsstrichen positiv oder negativ (oder Null) ist.

:-)

Answer 2

Hallo,

|x − 5| = 2 x − 11

a) x − 5 = 2 x − 11 |+5

x= 2x- 6 |-2x

-x= -6

x=6 ist Lösung laut Probe

b)

-(x − 5) = 2 x − 11

-x + 5 = 2 x − 11 |+x

5= 3x -11 |+11

16=3x

x=16/3 ist keine Lösung laut Probe

Comments

Mir geht es weniger um die Lösung dieser Aufgabe, sondern mehr darum zu verstehen warum man den Betrag einmal umschreibt zu -(x-5)

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Es sei f(x)=|x-2| Das soll mit g(x)=3 geschnitten werden.

Nun ist |x-2| = \( \sqrt{(x-2)^2} \)

\( \sqrt{(x-2)^2} \) =  3|^2

(x-2)^2 =9  |\( \sqrt{} \)

x-2=3

x₁=5

x-2=-3

x₂=-1

Mit Fallunterscheidung:

|x-2|=3

1.Fall x-2≥0  →   x≥2

x-2=3   → x=5  Das ist nun  ≥2

2.Fall x-2<0  → x<2

-(x-2)=3  → -x + 2= 3  →   -x=1  → x = -1  Das ist nun < 2

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ist das nicht eine andere Aufgabe?

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Es ist eine andere Aufgabe, an der ich den Sachverhalt zu erklären versuchte.

Answer 3

warum prüft man Betrag <=0?

Das tut man nicht.

Und den Fall x-5<0.

Insbesondere prüfst du ja nicht, ob |x-5| negativ ist, sondern ob x-5 negativ ist.

Wenn x - 5 negativ ist, dann ist -(x-5) positiv.

Wenn x - 5 negativ ist, dann ist deshalb |x-5| = -(x-5).

Answer 4

Die Betragszeichen sind eine Funktion.

Wichtig ist wann der Betrag >=0 ist.

Für über null gilt
term >= 0 : | term | = term
| + 4 | = 4

Für unter null gilt
term < 0 : | term | = term * (-1)
| - 4 | = 4

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| x − 5 | = 2 x - 11

1 Fall x - 5 >= 0
x >= 5
2.Fall
x - 5 < 0
x < 5

1.Fall
für x >= 5 gilt
| x − 5 | = x - 5
x − 5  = 2 x - 11
- x =- 6
x = 6
zusammen mit der Eingangsvoraussetzung
( x = 6 ) und ( x >= 5 ) ergibt sich
x = 6

2.Fall
x < 5
| x − 5 | = ( x - 5 ) * -1
( x − 5 ) * -1 = 2 x - 11
-x + 5 = 2x - 11
-3x = -16
x = 16/3

zusammen mit der Eingangsvoraussetzung
( x = 16/3 ) und ( x < 5 ) ergibt sich die
leere Menge

Comments

Wichtig ist wann der Betrag >=0 ist.

Ist das nicht immer der Fall?

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Besser
Wann der Term in den Betragstrichen
>= 0 ist