Betragsfunktion y = | x² - 1 | Fallunterscheidung nicht ersichtlich

Question

Aufgabe:

y = | x² - 1|

grafische Lösung ist für mich Nachvollziehbar, da einfach die Funktion gezeichnet wird und unterhalb der x-Achse (in dem Fall zwischen x<= -1 und x>=1) gespiegelt wird

Problem/Ansatz:

Ich versteh jedoch die Lösung des Skripts nicht, in der lediglich bei der Fallunterscheidung folgendes steht:

\( y=\left|x^{2}-1\right|=\left\{\begin{array}{ccc}x^{2}-1 & |x| \geq 1 \\  \text { für } & \\ -\left(x^{2}-1\right) & |x| \leq 1\end{array}\right\} \)

Wie genau kommt man zu diesem Ergebnis?

Answer 1

y = |x^2 - 1|

Nehmen wir mal die Fälle

Fall 1: x^2 - 1 ≥ 0 bzw. x ≤ -1 ∨ x ≥ 1
Fall 2: x^2 - 1 ≤ 0 bzw. -1 ≤ x ≤ 1

Beide Fälle kannst du jetzt aber auch noch etwas geschickter schreiben, wenn du es selber mit dem Betrag ausdrückst.

Fall 1: x^2 - 1 ≥ 0 bzw. |x| ≥ 1
Fall 2: x^2 - 1 ≤ 0 bzw. |x| ≤ 1

Comments

würde somit auch alternativ gehen

Fall 1:

\( \sqrt{x²} \) >= 1 

Fall 2:

\( \sqrt{x²} \) <= 1

als Schreibweise ?

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Ja. Denn genau so ist ja der Betrag definiert

|x| = √(x^2)

Answer 2

y= x^2-1 für x^2-1>=0

x^2-1 >=0

x^2>=1

|x| >=1  

y= -(x^2-1) für x^2-1 <0

x^2-1 <´0

|x|<1 

Man kann auch schreiben |x|<=1 (x=1 ist die Nullstelle des Betrages)