Injektivität der Funktion $$ f:\mathbb{R}\rightarrow(-1,1)\,\ x\mapsto\frac{x}{1+|x|} $$ soll gezeigt werden.
Problem/Ansatz:
Ich verstehe, dass man wegen des Betrages eine Fallunterscheidung beim Beweis der Injektvität vornimmt, jedoch ist mit die Wahl der Fälle nicht ganz klar.
Die Fälle $$ x_{1,2} < 0$$ und $$x_{1,2} \geq 0 $$ erschließen sich mir. Meine Frage nun:
Warum werden die Fälle $$ x_{1}\geq0 \ \land x_{2} < 0 $$ und $$ x_{2}\geq0 \ \land x_{1} < 0 $$ nicht berücksichtigt? Ich dachte dass alle möglichen Fälle aufgezeigt werden müssen und wenn alle vier Fälle zum Ergebnis $$x_{1} = x_{2}$$ führen, ist die Injektivität bewiesen.
