Wie kann ich diese Integrale umformen?

Question

Aufgabe:

Integrieren sie durch Umformung des Integranden:

Problem/Ansatz:

Wie gehe ich bei folgenden Integralen vor ?

1.)  \( \int\) (1+x)²/(x(1+x²)

2.) \( \int\) \(( \sqrt{x} \)-1)/x

3.) \( \int\) (x^4)/(1+x²)

Answer 1

Aloha :)

$$I_1=\int\frac{(1+x)^2}{x(1+x^2)}\,dx=\int\frac{1+2x+x^2}{x(1+x^2)}\,dx=\int\left(\frac{2x}{x(1+x^2)}+\frac{1+x^2}{x(1+x^2)}\right)dx$$$$\phantom{I_1}=\int\left(\frac{2}{1+x^2}+\frac{1}{x}\right)dx=2\arctan(x)+\ln|x|+C$$

$$I_2=\int\frac{\sqrt x-1}{x}\,dx=\int\left(\frac{\sqrt x}{x}-\frac1x\right)dx=\int x^{-\frac12}\,dx-\int\frac1x\,dx=\frac{x^{\frac12}}{\frac12}-\ln|x|+C$$$$\phantom{I_2}=2\sqrt x-\ln|x|+C$$

$$I_3=\int\frac{x^4}{1+x^2}\,dx=-\int\frac{-x^4}{1+x^2}\,dx=-\int\frac{1-x^4-1}{1+x^2}\,dx=-\int\left(\frac{1-x^4}{1+x^2}-\frac{1}{1+x^2}\right)dx$$$$\phantom{I_3}=-\int\left(\frac{\cancel{(1+x^2)}(1-x^2)}{\cancel{1+x^2}}-\frac{1}{1+x^2}\right)dx=-\int(1-x^2)dx+\int\frac{1}{1+x^2}dx$$$$\phantom{I_3}=\frac{x^3}{3}-x+\arctan(x)+C$$

Comments

die 1. Aufgabe lautet aber anders

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Danke für die Antwort.

Bei 1. habe ich doch aber im Zähler (1+x)², nicht 1+x² ?

Bei 3. verstehe ich noch nicht ganz. Ich ergänze jetzt quasi solange bis ich kürzen kann bzw. beim zweiten Summanden das Grundintegral auftaucht ?

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@Löwe:

Danke für den Hinweis, habe es korrigiert ;)

@ Zeebuh:

Bei (1) habe ich mich verlesen, Löwe hat mich darauf hingewiesen, ich hab's korrigiert.

Meine Idee bei der (3) war \((1-x^4)=(1+x^2)(1-x^2)\) zu verwenden, um dann kürzen zu können. Also musste ich den Zähler erst präparieren. Im ersten Schritt habe ich \(x^4\) negativ gemacht und dafür ein Minus vor das Integral geschrieben. Dann habe ich im Zähler eine \(1\) addiert und wieder abgezogen, um den Wert des Zählers nicht zu verändern. Schließlich habe ich den Bruch dann auseinander gezogen, um \((1-x^4)\) im Zähler alleine zu bekommen und kürzen zu können.

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Alles klar, hat mir sehr geholfen. vielen Dank!

Answer 2

1)  mit (1+x^2) kürzen , da bleibt nur 1/x

2)  √x / x    -1 /x   =    1/√x    -  1/x

3)   x^4 / (1+x^2 )   =   1/(1+x^2)   +   (x^4 - 1) / (1+x^2)

 =  1/(1+x^2)  +  x^2+1

gibt arctan(x) + x^3/3  - x

Comments

die 1.Aufgabe lautet anders.