Aloha :)
Hier geht es eigentlich immer darum, das Differential \(dx\) geschickt umzuschreiben.
Ich spare mir im Folgenden immer die Integrationskonstante am Ende.
zu a) Wegen \(\frac{d(\frac12x-1)}{dx}=\frac12\) ist \(d(\frac12x-1)=\frac12\,dx\), sodass:$$\int\left(\frac12x-1\right)^2dx=\int\left(\frac12x-1\right)^2\,\underbrace{2\,d\left(\frac12x-1\right)}_{=dx}\stackrel{u=\frac12x-1}{=}\int u^2\,2\,du=\frac23u^3=\frac23\left(\frac12x-1\right)^3$$
zu b) Wegen \(\frac{d(ax+b)}{dx}=a\) ist \(d(ax+b)=a\,dx\), sodass:$$\int(ax+b)^3\,dx=\int(ax+b)^3\,\underbrace{\frac1a\,d(ax+b)}_{=dx}\stackrel{u=ax+b}{=}\int u^3\frac1a\,du=\frac{u^4}{4a}=\frac{1}{4a}(ax+b)^4$$
zu c) Dieselbe Ersetzung wie in b)$$\int(ax+b)^n\,dx=\int(ax+b)^n\,\underbrace{\frac1a\,d(ax+b)}_{=dx}\stackrel{u=ax+b}{=}\int u^n\frac1a\,du=\frac{u^{n+1}}{(n+1)a}=\frac{(ax+b)^{n+1}}{(n+1)a}$$
zu d) Hier kannst du direkt mit Potenzen rechnen:$$\int2\sqrt{3x}\,dx=\int2\sqrt3\cdot x^{\frac12}\,dx=2\sqrt3\cdot\frac{x^{\frac32}}{\frac32}=2\sqrt3\cdot\frac23\cdot x^{\frac32}=\frac{4}{\sqrt3}x\sqrt x$$
zu e) Wegen \(\frac{d(2x-1)}{dx}=2\) ist \(d(2x-1)=2\,dx\), sodass:$$\int\sqrt{2x-1}\,dx=\int\sqrt{2x-1}\cdot\underbrace{\frac12\,d(2x-1)}_{=dx}\stackrel{u=2x-1}{=}\int u^{\frac12}\,\frac12\,du=\frac12\,\frac{u^{\frac32}}{\frac32}=\frac13(2x-1)^{\frac32}$$
zu f) Dieselbe Ersetzung wie in e)$$\int\frac{1}{(2x-1)^2}\,dx=\int\frac{1}{(2x-1)^2}\cdot\underbrace{\frac12\,d(2x-1)}_{=dx}\stackrel{u=2x-1}{=}\int\frac1{u^2}\,du=-\frac1u=-\frac{1}{2x-1}$$
