Betragsungleichungen, Fallunterscheidung, Betragsfunktion, Zahlengerade

Question

Aufgabe:

I x-3 I ≥ 7

Kann mir jmd. die Lösung dieser Betragsungleichung sagen? Am besten mit Rechenweg.

Answer 1

I x-3 I ≥ 7

1.Fall
x - 3 ≥ 0
x ≥ 3
Es gilt
x-3  ≥ 7
x ≥ 10
Zusammen mit der Eingangsvoraussetzung
( x ≥ 3 ) und ( x ≥ 10 )
ergibt sich
x ≥ 10

2.Fall
x - 3 < 0
x < 3
Es gilt
( x-3 )* -1 ≥ 7
-x+3  ≥ 7
-x ≥ 4 | * -1
x ≤ - 4
Zusammen mit der Eingangsvoraussetzung
( x < 3 ) und ( x ≤ - 4)
ergibt sich
x ≤ - 4

Lösungsmenge
( x ≥ 10 ) oder ( x ≤ - 4 )

Answer 2

Die Gleichung ist äquivalent mit $$ -7 \le x-3 \le 7  $$ also mit $$  -4 \le x \le 10 $$

Comments

Danke für die Antwort, aber irgendwie stehe ich etwas „auf dem Schlauch“.

Man macht doch bei den Betragsungleichungen die Fallunterscheidung, oder?

Wenn ich die Ungleichungen

1. Fall: x - 3 ≥ 7

und

2. Fall: - ( x - 3 ) ≥ 7

auflöse, dann bekomme ich als Ergebnis für 1. x ≥ 10 und 2. x ≥ -4

Geschrieben als:

- 4 ≤ x ≤ 10

Ist die Aussage doch dann eine andere, oder? So wie es da steht, würde das doch bedeuten, dass alle Zahlen zwischen -4 und 10 gehen, aber bei der Fallunterscheidung bekommt man doch einmal „ ab -4 „ und einmal „ ab 10 „ ,oder?

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ullim hat gestern

I x-3 I ≤ 7

gelesen. 
Das bedeutet, das  x-3 zwischen -7 und 7 liegt und kann gleich in eine Ungleichungskette umgewandelt werden. 
-7 ≤ x-3 ≤ 7              | Ganze Kette +3
-4 ≤ x ≤ 11
Nun hast du aber (inzwischen oder von Anfang an I x-3 I ≥ 7. Daher ist die Lösungsmenge genau "umgekehrt."
L = {x Element R | -4 ≤ x oder x≥ 7 }