Hallo Jan,
wenn es Dir nur um das Ergebnis geht, so lasse Dir die Graphen der beiden Funktionen links und rechts vom \(\gt\)-Zeichen ausgeben. Das sieht so aus
~plot~ abs(abs(x)-1);x^2;{(sqrt(5)-1)/2|(3-sqrt(5))/2} ~plot~
Der gesuchte Bereich ist der, wo der blaue Graph der Funktion \(||x|-1|\) oberhalb der roten Parabel \(x^2\) liegt. Der Schnittpunkt ist dann schnell berechnet und das Ergebnis ist $$- \frac 12 \left( \sqrt 5 -1\right) \lt x \lt \frac 12 \left( \sqrt 5 -1\right) $$Der allgemeine Weg besteht darin, jeweils für jedes Paar der Absolut-Striche (jede Absolut-Funktion) die Fallunterscheidung von negativ und positiv zu machen. Und jeden Fall mit jeden zu kombinieren. Macht bei dieser Aufgabe vier Kombinationen, da wir zweimal die Absolut-Funktion vorliegen haben.
1.) \(x \ge 0 \land |x| -1 \ge 0 \implies x \ge 1\): hier ist die Gleichung nie erfüllt \(\mathbb{L}_1=\{\}\)
2.) \(x \ge 0 \land |x| - 1 \lt 0 \implies 0 \le x \lt 1\): $$\begin{aligned} \implies 1-x &\gt x^2 \\ 0 &\gt x^2 + x - 1 \\ 0 &\gt x^2 + x + \frac 14 - \frac 54 \\ \frac 54 &\gt \left( x + \frac 12\right)^2 \\ \sqrt{\frac 54} - \frac 12 &\gt x \\ \implies \mathbb{L}_2 &= \{ x: \space 0 \le x \lt \frac 12\left( \sqrt 5 -1 \right)\}\end{aligned}$$ Beim Wurzelziehen entfällt die negative Lösung, da die Gleichung dann nur für negative \(x\)-Werte erfüllt wäre, aber Voraussetzung war ja \(0 \le x \lt 1\).
... womit für positive \(x\) die Lösung gefunden ist. Die negativen \(x\) und damit die Kombinationen 3 und 4 schaffst Du jetzt allein - oder?
