Verschachtelte Betragsungleichungen lösen

Question

kann mir jmd. erklären, wie man bei verschachtelten Betragsungleichungen vorgeht und am besten auch ein Ergebnis zur Kontrolle schreiben?

Zur Not nehme ich auch nur das Ergebnis ;)

I I x I - 1 I > x² 

Answer 1

Hallo Jan,

wenn es Dir nur um das Ergebnis geht, so lasse Dir die Graphen der beiden Funktionen links und rechts vom $\gt$-Zeichen ausgeben. Das sieht so aus

Plotlux öffnen

f₁(x) = abs(abs(x)-1)f₂(x) = x²P((√(5)-1)/2|(3-√(5))/2)

Der gesuchte Bereich ist der, wo der blaue Graph der Funktion $||x|-1|$ oberhalb der roten Parabel $x^2$ liegt. Der Schnittpunkt ist dann schnell berechnet und das Ergebnis ist $$- \frac 12 \left( \sqrt 5 -1\right) \lt x \lt \frac 12 \left( \sqrt 5 -1\right)$$Der allgemeine Weg besteht darin, jeweils für jedes Paar der Absolut-Striche (jede Absolut-Funktion) die Fallunterscheidung von negativ und positiv zu machen. Und jeden Fall mit jeden zu kombinieren. Macht bei dieser Aufgabe vier Kombinationen, da wir zweimal die Absolut-Funktion vorliegen haben.

1.) $x \ge 0 \land |x| -1 \ge 0 \implies x \ge 1$: hier ist die Gleichung nie erfüllt $\mathbb{L}_1=\{\}$

2.) $x \ge 0 \land |x| - 1 \lt 0 \implies 0 \le x \lt 1$: $$\begin{aligned} \implies 1-x &\gt x^2 \\ 0 &\gt x^2 + x - 1 \\ 0 &\gt x^2 + x + \frac 14 - \frac 54 \\ \frac 54 &\gt \left( x + \frac 12\right)^2 \\ \sqrt{\frac 54} - \frac 12 &\gt x \\ \implies \mathbb{L}_2 &= \{ x: \space 0 \le x \lt \frac 12\left( \sqrt 5 -1 \right)\}\end{aligned}$$ Beim Wurzelziehen entfällt die negative Lösung, da die Gleichung dann nur für negative $x$-Werte erfüllt wäre, aber Voraussetzung war ja $0 \le x \lt 1$.

... womit für positive $x$ die Lösung gefunden ist. Die negativen $x$ und damit die Kombinationen 3 und 4 schaffst Du jetzt allein  - oder?

Comments

Ja, das schaffe ich! Danke für die ausführliche Erklärung. LG

Answer 2

Fallunterscheidung:

1. x>1

2. 0<x<=1

3. x<1

Answer 3

Zunächst betrachtest du den inneren Betrag. Du musst deshalb unterscheiden, ob x<0 oder x>0 ist.

Der Term innerhalb der äußeren Betragsstriche ändert sein Vorzeichen bei x=-1 und x=1.

Du musst also vier Fälle untersuchen:

x kleiner als -1,

x zwischen -1 und 0,

x zwischen 0 und 1,

x größer als 1.

Dann müsste es einfach sein ...