Ist eine Verkettete Funktion eigentlich immer in einer Klammer und dann noch irgendwas wenn nicht a wie erkenne ich die?

Question

Ist eine Verkettete Funktion eigentlich immer in einer Klammer und dann noch irgendwas wenn nicht wie erkenne ich die?

( Jetzt keine Spezial Funktion kein Sinus Cosinus oder Wurzel) normale e Funktionen

Problem/Ansatz:

Comments

f(x)=3x² _{ist,eine verkettete Funktion}

_x↦x²  wird mit x↦3x   verkettet

Answer 1

Eine Verkettung benötigt keine expliziten Klammern.

Beispiel:

\( f(x) = \frac{1}{ax + b} \)

Suche die innere Funktion anhand der Variablen \( x \) und wähle möglichst viel davon aus, sodass die Funktion handhabbar bleibt. Setze dies als \( z(x) \). Im Beispiel:

\( z(x) = ax + b \)

Setze nun \( z \) in die äußere Funktion ein:

\( f(z) = \frac{1}{z}, \quad \text{mit} \quad z(x) = ax + b \)

Comments

Kannst du mir bitte sagen was da Falsch ist, ich habe die innere mal äußere genommen?

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Schreib das erstmal sauber als \(u\circ v\) hin. Dann merkst Du, dass Du mit Deinem \(u,v\) hier \(v\circ u\) vorliegen hast. Heißt: erstmal klären, was ist die äußere Funktion, was die innere.

Und als Merkregel ist "äußere mal innere" hilfreicher (weil sicherer bei komplizierteren Funktionen).

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Passt das so auch alles Formal mathematisch?

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Du hast

f(z) = z^3 mit z(x) = 2·x - 3

Äußere Ableitung

f(z) = z^3 
f'(z) = 3·z^2

Innere Ableitung

z(x) = 2·x - 3
z'(x) = 2
Beachte das die Ableitung hier nur 2 ist.

Jetzt äußere Ableitung mal innere Ableitung

(3·z^2) * (2) = (3·(2·x - 3)^2) * (2) = 6·(2·x - 3)^2

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Ja, diese Version passt, ist auch gut aufgeschrieben.

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Zum Glück war der Kommentar von Jukius vor dem Kommentar von MC da. Daran zeigt sich nämlich, dass ein stumpfes Vorrechnen überhaupt nicht notwendig war!