Stetig partielle Diffbarkeit zeigen (Eigentlich eine einfach kurze Frage) f(x,y):= x^2 y sin(1/x), x≠0 ...

Question

folgende Aufgabe:

a) ist klar, da der Limes der Funktion für x ungleich 0 gegen Null läuft für x -> 0

b) ist klar, partielle Ableitungen sind gebildet

c) Hier ist der Knackpunkt: Muss ich für die partiellen Ableitungen nach x und y jeweils noch zeigen, dass der Limes der Ableitung auch nach 0 geht für x -> 0, da die Ableitung für x=0 ja auch 0 ist? Eigentlich doch schon, oder vertue ich mich da?

d) Wenn die partiellen Ableitungen stetig sind, ist d) auch klar.
Wenn der Limes aber nicht gegen Null läuft (= Unstetigkeit), dann muss ich d) durch die Definition der Stetigkeit zeigen, kann mir jemand sagen, wie ich das mache?

LG

Answer 1

Test, ob Handschrift zuverlässig erkannt wird, um die lästige LaTex Eingabe zu vermeiden…

Zu c) es muß gezeigt werden, daß die partiellen Ableitungen stetig sind. Dies ist für die Ableitung nach y überall der Fall, für die partielle Ableitung nach x in x=0 nicht.

Zu d) Für die totale Differenzierbarkeit in x=0 (ansonsten klar) muß die Funktion in (0,0) stetig sein, die partiellen Ableitungen müssen existieren und f(x,y) muß linear approximierbar sein mit schnell genug verschwindendem Restglied, was für (0,0) der Fall ist.

Comments

Test, ob Handschrift zuverlässig erkannt wird, um die lästige LaTex Eingabe zu vermeiden…

Hängt maßgeblich von der Sauklaue ab. ;)

---

Schön wäre, wenn dann nicht bei den Schreibweisen geschlampt würde... Argumente einfach weglassen, limes konvergiert für h->0, z.B.

---

@ Jumanji: Deine letzte Bemerkung kann ich nicht nachvollziehen:

$$\left|\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}(f(x,y)-f(0,0)-0 \cdot x-0 \cdot y)\right|= \\\quad\frac{|x|}{\sqrt{x^2+y^2}} |x y| |\sin(1/x)|\leq |xy| \to 0$$

---

@Mathilf

Ich auch nicht mehr :-) . Danke, Du liest sehr gründlich

---

@Apfelmännchen: das ist meine Schönschrift :-)