Untersuche die Funktion g_(n) mit g_(n)(x):= f_(n)(x):= x^n cos(1/x), x≠0 … stetig differenzierbar

Question

Untersuchen sie jeweils, für welche n es ein a ∈ ℝ gibt, dass die Funktion g_(n) mit g_(n)(x):= f_(n)(x):= x^n cos(1/x)

Kann mir jemand zeigen, wie ich das untersuchen soll?

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Differenzierbarkeit und Stetigkeit der Funktion f(x)=x^k*cos(1/x) für x=/0 und 0 für x=0

Stichworte: differenzierbarkeit,stetigkeit,trigonometrie

(nur die erste Aufgabe)

würde für diese Aufgabe herausbekommen:

-für die Stetigkeit k>=1

Begründung x^k=0, da sonst immer abwechselnd +- ein Wert angenommen wird. Wenn k=0 wäre, würde 0^0 herauskommen, ab k=1 macht die Ungleichung Sinn.

-für die Differenzierbarkeit k>=2

Begründung x^{k-1}=0, da sich beim bilden des Differentialquotienten x^k und x kürzt, sollte x^{k-1}=0 sein --> dies ist dann erst ab k=2 der Fall. Stimmt meine Begründung oder übersehe ich etwas?

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\(0^0:=1\) ist eine ziemlich sinnvolle und auch uebliche Festlegung. Das aber nur am Rande. Der Ausdruck \(0^0\) kommt in der Funktionsdefinition nicht vor. Ansonsten findest Du Dein Thema in den ersten Treffern unter "Aehnliche Fragen" unten behandelt.

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Die Frage gab es hier schon x-mal. Abgesehen davon: Um rauszukriegen, ob die Funktion für x=0 stetig ist, sollte man wohl ein Kriterium für Stetigkeit verwenden. Es gibt nicht so furchtbar viele. Welches schlaegst Du vor?

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Probiert man dabei jedes mögliche n ∈ ℕ aus? Also 0,1,2,3,4,... oder geht das auch allgemeiner? 

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Beachte die "ähnlichen Fragen" und verwende https://www.mathelounge.de/361474/differenzierbare-funktion-welches-falls-differenzierbar z.B. um Aussagen über deine Funktion zu machen.