Zeigen Sie, dass f stetig und differenzierbar auf ganz ℝ ist, und berechnen Sie die Ableitung f '(x) .

Question

Aufgabe:

(a) Sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) gegeben durch \( f(x):=x \sqrt{|x|} \). Zeigen Sie, dass \( f \) stetig und differenzierbar auf ganz \( \mathbb{R} \) ist, und berechnen Sie die Ableitung \( f^{\prime}(x) \).

Problem/Ansatz:

Answer 1

Der einzig problematische Punkt bzgl. der Diffbarkeit. ist

\(x=0\). Hier gilt$$\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim \frac{h\sqrt{|h|}}{h}=\lim\sqrt{|h|}=0$$also diffbar in 0 mit \(f'(0)=0\).

\(f\) ist eine ungerade Funktion.

Daher ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung.

Ich erhalte somit

\(f'(x)=-3/2\sqrt{|x|}\) für \(x<0 \leftarrow\) falsch ! Siehe Kommentar
\(f'(0)=0\),
\(f'(x)=3/2\sqrt{|x|}\) für \(x>0\).

Comments

Die Ableitung für x<0 ist auch positiv.

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Oh, sehe ich auch gerade. Vielen Dank für

die Korrektur!

Also ergibt sich auf ganz \(\mathbb{R}\) als

Ableitung \(f'(x)=3/2\sqrt{|x|}\).

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Wie schreibe ich das auf, wenn ich eine Fallunterscheidung machen:

a) x>=0

f(x) = x*x^(1/2) =x^(3/2) -> f'(x) = 3/2*x^(1/2)

b) x<0

f(x) = x*(-x)^(1/2)

u= x -> u'= 1

v= (-x)^(1/2) -> v'= -1/2*(-x)^(3/2)

f'(x) = (-x)^(1/2) -x/2*(-x)^(3/2)

und weiter ??

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Muss bei v' der Exponent nicht -1/2 sein?

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Zu meinem Vorzeichenfehler:
ich hätte es besser wissen können;
denn die Ableitung einer ungeraden Funktion
ist eine gerade Funktion.

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Muss bei v' der Exponent nicht -1/2 sein?

Nein, denn 3/2 -1 = 1/2.

\( \frac{d}{d x}(x \sqrt{|x|})=\left\{\begin{array}{ll} \frac{3 x^{2}}{2|x|^{3 / 2}} & x \neq 0 \\ 0 & \text { (otherwise) } \end{array}\right. \)

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Muss bei v' der Exponent nicht -1/2 sein?

denn 3/2 -1 = 1/2.

Mein Kommentar bezog sich auf die Ausführungen von ggT, wo der Exponent von v den Wert 1/2 hat.

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Mein Kommentar bezog sich auf die Ausführungen von ggT, wo der Exponent von v den Wert 1/2 hat.

Achso :-)

x<0:

f'(x) = (-x)^(1/2) -x/2*(-x)^(-1/2)

 = (-x)^{½}+ ½(-x)^1 • (-x)^{-½}

 = (-x)^{½}+ ½(-x)^{½}

 = 3/2 •(-x)^{½}

 = 3/2 •|x|^{½}