Wähle als Ansatz für die Funktion zwischen 0 und 1 - nennen wir sie mal \( g \) - z.B. ein Polynom. Das f soll stetig diffbar sein, insbesondere also selbst stetig. Das führt zu den Bedingungen
$$ g(0) = f(0) = 0,\quad g(1) = f(1) = 1 $$
Polynome sind stetig diff'bar. Um für f stetige Differenzierbarkeit zu erhalten müssen wir also zusätzlich nur noch
$$ g'(0) = f'(0) = 1,\quad g'(1) = f'(1)=-1$$
fordern, wie du schon richtig gesagt hast. Wir kennen für \( g \) also 4 Eigenschaften, das wird uns i.A. zu einem Polynom mit Grad 3 führen: \( g(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \). Wir erhalten das LGS
$$ \begin{aligned} d &= 0\\ a+b+c+d &= 1\\ c &= 1\\3a+2b+c &= -1\end{aligned}$$
Das musst du jetzt lösen. Kontrollergebnis: \( g(x) = -2·x^3 + 2·x^2 + x \)
Skizze Funktion:
~plot~ (x < 0 )*sin(x) + (x > 0) * ((-2)*x ^3+2*x^2+x) *(x < 1) + (x > 1)*1/x; [[-5|3|-2|2]] ~plot~
Skizze Ableitung:
~plot~ (x < 0 )*cos(x) + (x > 0) * ((-6)*x ^2+4*x+1) *(x < 1) + (x > 1)*-1/x^2; [[-1|2|-2|2]] ~plot~