Aussagen / differenzierbare Funktion

Question

Aufgabe:

Sei \( f \) eine differenzierbare Funktion auf \( \mathbb{R} \).
Wählen Sie unter den folgenden Aussagen jene aus, die wahr sind.

1- Ist \( f \) statt auf \( \mathbb{R} \) nur auf \( [a, b] \) für \( a, b \in \mathbb{R} \) definiert und erreicht \( f \) ein Extremum in \( x_{0} \in[a, b] \), so gilt \( f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0 \).

2- Ist \( f^{\prime}(x)>0 \) für alle \( x \in \mathbb{R} \), so ist \( f \) streng monoton wachsend.

3- Erreicht \( f \) in \( x_{0} \) ein lokales Extremum, so gilt \( f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0 \).

4- Ist \( f \) auf \( \mathbb{R} \) streng monoton wachsend, so gilt \( f^{\prime}(x)>0 \) für alle \( x \in \mathbb{R} \).

5- Gilt \( f^{\prime}(x) \leq 0 \) für alle \( x \in \mathbb{R} \), so ist \( f \) streng monoton fallend.

6- Existiert ein \( x_{0} \) mit \( f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0 \), so besitzt \( f \) in \( x_{0} \) ein lokales Maximum oder Minimum.

Kann mir jemand helfen, die richtigen Antworten auszuwählen?

Comments

Mach mal Vorschläge mit Begründungen!

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

zu 1) FALSCH

Betrachte die Funktion \(f(x)=x\). Sie hat überall die Ableitung \(f'(x)=1\). Wenn wir sie auf das Intervall \(x\in[0;1]\) einschränken, hat sie ein Randmaximum bei \(f(1)=1\). Die Ableitung ist dann bei \(x=1\) nicht nur ungleich Null, sondern gar nicht definiert, weil es keinen rechtsseitigen Grenzwert des Differenzenquotienten gibt.

zu 2) WAHR

zu 3) WAHR

\(f'(x_0)=0\)  ist eine notwendige Voraussetzung für ein Extremum.

zu 4) WAHR

zu 5) FALSCH

Betrachte die Funktion \(f(x)=0\). Ihre Ableitung ist \(f'(x)=0\), also insbesondere \(f'(x)\le0\). Die Funktion ist aber konstant.

zu 6) FALSCH

Betrachte die Funktion \(f(x)=x^3\). Ihre Ableitung \(f'(x)=3x^2\) hat eine Nullstelle bei \(x_0=0\). Aber die Funktion hat bei \((x_0=0)\) einen Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse, also kein Extremum.