Differenzierbare Funktion. Für welches n ist f(x) = 0 falls x = 0 , sonst f(x) = x^n sin(1/x) differenzierbar?

Question

Ich muss folgende Aufgabe lösen und weiß nicht wie:
Gegeben sei die Funktion f: R--> R definiert durch
f(x) = 0     falls x = 0  , sonst  f(x) = x^n sin(1/x) 
Untersuchen Sie, für welches natürliche n die Funktion stetig bzw. differenzierbar in x=0 ist

Comments

f(x) = x^n·SIN(1/x)

f'(x) = x^{n - 2}·(n·x·SIN(1/x) - COS(1/x))

Kannst du das damit bereits beantworten?

Answer 1

Damit es stetig in x=0 ist muss ja

lim x gegen 0 von  xⁿ sin(1/x)  = 0 sein

Für  natürliche n > 0 geht x^n gegen 0 und  sin(1/x) ist beschränkt, also

ist das für n>0 der Fall.

diffbar?    Der Grenzwert von

( f(0+h) - f(0)  ) / h   muss für h gegen 0 existieren.

( f(0+h) - f(0)  ) / h  =  ( hⁿ sin(1/h)  -  0 ) / h  =  h^n-1  sin(1/h)

mit dem gleichen Argument wie oben muss n > 1 sein .