Stetig differenzierbare Fortsetzung

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie eine Funktion f:ℝ→ℝ, für die folgende Eigenschaften gelten:
1.: Für alle x∈(-∞, 0] gilt f(x)=sin(x)
2.: Für alle x∈[0, ∞) gilt f(x)=\( \frac{1}{x} \)
3.: f ist stetig differenzierbar

Problem/Ansatz:

für x <= 0 und x >= 1 ist meine Funktion ja eigentlich schon gegeben. Wenn ich das richtig sehe, brauche ich nur noch dein Teil für 0 < x < 1 zu bestimmen. Die Ableitung von x muss ja stetig sein, also:
Für x <= 0: cos(x)
Für x >= 1: -\( \frac{1}{x^2} \)
Für 0 < x < 1: ???
Ich weiß, dass die Ableitungsfunktion im dritten Bereich bei cos(0)=1 "beginnen" muss und dann zu -\( \frac{1}{1^2} \) = -1 laufen muss

Wie bestimme ich die Funktion für diesen Abschnitt? :)

Comments

Für alle x∈[0, ∞) gilt \( f(x)=\frac{1}{x} \)

Für x=0 ist das nicht definiert. Meinst du \([1,\infty)\)?

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Oh ja, natürlich. Habe mich vertippt

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Vielleicht ein kubisches Polynom mit ƒ(0)=0, ƒ(1)=1, ƒ'(0)=1, sowie ƒ'(1)=-1 ?

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So etwas kam bisland noch nicht vor in unserer Vorlesung. Wird dann wohl nicht der richtige Weg sein, aber danke

Answer 1

Wähle als Ansatz für die Funktion zwischen 0 und 1 - nennen wir sie mal \( g \) - z.B. ein Polynom. Das f soll stetig diffbar sein, insbesondere also selbst stetig. Das führt zu den Bedingungen

$$ g(0) = f(0) = 0,\quad g(1) = f(1) = 1 $$

Polynome sind stetig diff'bar. Um für f stetige Differenzierbarkeit zu erhalten müssen wir also zusätzlich nur noch

$$ g'(0) = f'(0) = 1,\quad g'(1) = f'(1)=-1$$

fordern, wie du schon richtig gesagt hast. Wir kennen für \( g \) also 4 Eigenschaften, das wird uns i.A. zu einem Polynom mit Grad 3 führen: \( g(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \). Wir erhalten das LGS

$$ \begin{aligned} d &= 0\\ a+b+c+d &= 1\\ c &= 1\\3a+2b+c &= -1\end{aligned}$$

Das musst du jetzt lösen. Kontrollergebnis: \( g(x) = -2·x^3 + 2·x^2 + x \)

Skizze Funktion:

~plot~ (x < 0 )*sin(x) + (x > 0) * ((-2)*x ^3+2*x^2+x) *(x < 1) + (x > 1)*1/x; [[-5|3|-2|2]] ~plot~

Skizze Ableitung:

~plot~ (x < 0 )*cos(x) + (x > 0) * ((-6)*x ^2+4*x+1) *(x < 1) + (x > 1)*-1/x^2; [[-1|2|-2|2]] ~plot~

Comments

Danke für deine Antwort, die hat mir sehr geholfen!
Nur eine Stelle verstehe ich nicht: Wie stellst du das LGS auf? Die rechte Seite ist jeweils der Wert, den die Funktion annehmen soll. Aber was ist mit den vier linken Seiten?

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Wir kennen für g also 4 Eigenschaften, das wird uns i.A. zu einem Polynom mit Grad 3 führen: \( g(x)=ax^3+bx^2+cx+d \).

Das ist unser Ansatz. In diesen setzen wir jetzt die Bedingungen ein, z.B.

$$ g(0) = a\cdot 0^3 + b \cdot 0^2 + c\cdot 0 + d = 0 $$

oder

$$ g'(1) = 3a\cdot 1^2 + 2b \cdot 1 + c = -1 $$

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Und wie komme ich darauf, welcher Faktor vor dem a, b, c und d steht?
Wie kommt man auf g'(1) = 3a⋅1^2+2b⋅1+c=−1 ?

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Wenn

$$ g(x)=ax^3+bx^2+cx+d $$

dann ist die Ableitung

$$ g'(x)=3ax^2+2bx+c $$

und da setzt du 1 ein.

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Okay, jetzt habe ich's. Vielen Dank dir!! :)

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"Wir kennen für g also 4 Eigenschaften, das wird uns i.A. zu einem Polynom mit Grad 3 führen"  <--- wie weiß ich , ob das Polynom mit Grad 3 eingesetzt soll 

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wie weiß ich , ob das Polynom mit Grad 3 eingesetzt soll 

wie meinst du das?

n Bedingungen -> Polynom vom Grad n-1

(zumindest falls die Bedingungen nicht redundant oder widersprüchlich sind)