Differenzierbare Fortsetzung von f auf R

Question

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Eine Funktion \( f: \mathbb{R} \backslash\left\{x_{0}\right\} \rightarrow \mathbb{R} \) sei differenzierbar in \( \mathbb{R} \backslash\left\{x_{0}\right\} \) und es gebe \( \lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f^{\prime}(x) \). Beweise oder widerlege: Es gibt eine differenzierbare Fortsetzung von \( f \) auf \( \mathbb{R} \).

Aufgabe:

Problem/Ansatz

Leider finde ich hier keinen Ansatz und weiß leider überhaupt nicht wie ich weiterkommen soll. Vielen Dank im Voraus

Answer 1

Betrachte die Funktion \( f: \mathbb{R} \backslash\left\{0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)

mit f(x)=1 für x>0 und f(x)=-1 für x<0.

Ist überall diffb. mit f ' (x)=0 , also existiert \( \lim \limits_{x \rightarrow {0}} f^{\prime}(x) = 0\).

Aber f ist bei 0 nicht stetig fortsetzbar, also auch nicht differenzierbar fortsetzbar.

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Vielen Dank:)