differenzierbare Funktion f : [a,b,] -> R, f(x_i) = 0, Beweis f'(x_0) = 0, x_0 aus [a,b]

Question

Hallo ich komme beo folgender Aufgabe nicht recht weiter

Sei n ∈ ℕ. Die Funktion f : [a,b] → ℝ sein n-mal differenzierbar. Seien x₁,...,x_n+1 ∈ [a,b] mit x₁ < ... < x_n+1 und f(x_i)=0 für alle 1 ≤ i ≤ n+1.

Beweisen Sei, dass es ein x_o ∈ [a,b] gibt, dass f⁽ⁿ⁾(xo) = 0 ist.

Das klingt für mich sehr nach dem Satz von Rolle ich finde aber kein Angriffspunkt....

Man hat ja x₁ und x_n+1 Minimal bzw. Maximalstelle und es gilt ja f(x₁) =  f(x_n+1) = 0 dann muss es ja auch  f⁽ⁿ⁾(xo) = 0 geben.

Answer 1

vielleicht so:

wegen der Differenzierbarkeit und 

x₁,...,x_n+1 ∈ [a,b] mit x₁ < ... < x_n+1 und f(x_i)=0 für alle 1 ≤ i ≤ n+1.

gibt es  (wegen n-maliger Anwendung des Satzes

von Rolle )  zwischen je zwei der   x₁ < ... < x_n+1  immer ein neues x , also

etwa  x_1,1  < x_2,1 < ....<   x_n,1 mit    f ' ( x_i1 ) = 0   für i =1 bis n.

Auf diese n Stück kann man jetzt den Satz auf die Funktion f '

(es ist ja alles mehrfach differenzierbar) anwenden und erhält damit

die Existenz von n-1 neuen Stellen, etwa 

  x_1,2  < x_2,2 < ....<   x_n-1,2 mit    f '' ( x_i,2 ) = 0   für i =1 bis n-1.

Dann auf diese n-1 Stellen und die Funktion f ' '  wieder Rolle

anwenden. etc.  Dann bleiben am Ende zwei Stellen

x_1,n-1  < x_2,n-1 übrig mit f^(n-1)(x_i,n-1) = 0 für i=1 , 2


Da aber nun f^(n-1) auch noch (mindestens 1x ) diffb. ist  und

x_1,n-1  < x_2,n-1   auch aus [a,b] kann man Rolle noch 1x

anwenden und erhält die gewünschte Aussage.