Ist diese Funktion differenzierbar oder sogar stetig differenzierbar?

Question

Aufgabe:

Untersuchen sie, wo die Funktion

Text erkannt:

\( f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2} \sin \frac{1}{x} & \text { falls } x \neq 0 \\ 0 & \text { falls } x=0\end{array}\right. \)

differenzierbar ist, und berechnen Sie die Ableitung. Ist diese Funktion stetig differenzierbar?

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand weiter helfen, denn ich weiß wirklich nicht wo ich da anfangen soll?

Comments

Hallo,

für \(x \neq 0\) ist die Funktion als Verknüpfung von elementaren Funktionen definiert. Differenzierbarkeit und Berechnung der Ableitung für diese Punkte folgt aus den standardmäßigen Differentiationsregeln.

Im Punkt \(x=0\)  musst Du die Definition der Ableitung über den Differenzenquotienten averwenden.

Gruß Mathhilf

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Für alle \(x \neq 0\) habe ich es jetzt gezeigt.

Für \(x = 0\) bin ich mir aber noch unsicher.

wenn ich jetzt \(x_0 = 0\) in \( \lim_{x\rightarrow x_{0}} \frac{ f(x) - f(x_{0})} {x - x_{0}} \) einsetze, dann komm ich auf \( \lim_{x\rightarrow 0} \frac{ x^{2}sin{\frac{1}{x}} - 0} {x - 0} \).

Aber wie weiß ich jetzt ob die Funktion an der stelle x = 0 differenzierbar ist?

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dürft ihr l'hopital verwenden? Dann könntest du dies anschließend anwenden

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Warum nicht einfach \(x\) kürzen?

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Danach ;) er muss ja noch den Grenzwert ausrechnen. Ach sorry ja er sollte einfach eine Abschätzung machen(Sandwich-Satz), nicht l'hopital

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Der Grenzwert ist also 0. Was sagt dies jedoch über die differenzierbarkeit der Funktion aus?

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Hallo,

es gilt:

$$\frac{1}{x}(f(x)-f(0))=x \sin (\frac{1}{x}) \to 0 (x \to 0)$$

Daher ist nach Definition der Differenzierbarkeit f im Nullpunkt differenzierbar mit \(f'(0)=0\).

Du bist nun in der Situation, dass Du hier im Forum 2 abweichende "Lösungen" erhalten hast. Wenn es dabei bleibt, wirst Du selbst Deine Unterlagen sorgfältig prüfen müssen, um zu entscheiden, was richtig ist.

Gruß Mathhilf

Answer 1

Aloha :)

Wir betrachten die Funktion:$$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl}x^2\,\sin\frac{1}{x}&\text{falls}& x\ne0\\0 &\text{falls}& x=0\end{array}\right.$$

Wir prüfen zunächst, ob \(f(x)\) an der Stelle \(x=0\) stetig ist.$$-1\le\sin\frac{1}{x}\le+1\implies -x^2\le x^2\sin\frac{1}{x}<x^2\implies$$$$\lim\limits_{x\to0}(-x^2)\le\lim\limits_{x\to0}(x^2\sin\frac{1}{x})\le\lim\limits_{x\to0}(x^2)\implies0\le\lim\limits_{x\to0}(x^2\sin\frac{1}{x})\le0\implies$$$$\lim\limits_{x\to0}(x^2\sin\frac{1}{x})=0$$\(f(x)\) ist also stetig bei \(x=0\).

Nun prüfen wir, ob die links- und die rechtsseitige Ableitung bei \(x=0\) existieren und gleich groß sind:$$x\ne0\implies f'(x)=2x\sin\frac{1}{x}+x^2\cos\frac{1}{x}\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right)=2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}$$Für \(x\to0\) konvergiert \(f'(x)\) weder von links \((x\nearrow0)\) noch von rechts \((x\searrow0)\) her.

Daher ist \(f(x)\) bei \(x=0\) nicht differenzierbar und damit auch nicht stetig differenzierbar.

Comments

Immer wieder der gleiche Fehler.