ich hänge gerade an der im Titel beschriebenen Aufgabe. Es gilt außerdem noch:$$0<a \in \mathbb {R}~und~|x|<a$$
Zuerst schreibe ich das Integral um.
$$\int f(x) dx=\int x^2 \sqrt {a^2-x^2}dx=$$ $$ \int a^2sin^2(arcsin(\frac {x}{a}))\sqrt {a^2-a^2sin^2(arcsin(\frac {x}{a}))} * \sqrt {1-sin^2(arcsin(\frac {x}{a}))}\frac { 1}{\sqrt {1-sin^2(arcsin(\frac {x}{a}))}} dx$$
Nun substituiere ich mit $$z=arcsin(x/a)~und~f(z)=a^2 sin^2(z) \sqrt{a^2-a^2sin^2(z))}*\sqrt{1-sin^2(z)}$$ und vereinfache/integriere das Ganze:
$$ \int a^2 sin^2(z) \sqrt{a^2(1-sin^2(z))}*\sqrt{1-sin^2(z)}dz= a^3\int sin^2 (z) *cos^2(z)dz=a^3 (- \frac {sin(4z)-4z}{32})$$
Rücksubstitution:
$$ F(x)=a^3 (- \frac {sin(4arcsin(x/a))-4*arcsin(x/a)}{32})$$
Da ich mir sehr unsicher war habe ich Integralrechner.de benutzt um das Integral über ein bestimmtes Intervall berechnen zulassen. Danach habe ich es mit meiner Stammfunktion direkt ausgerechnet. Die Ergebnisse für das Intervall stimmen nicht überein. Ich habe also irgendwo einen Fehler gemacht oder verstehe vielleicht auch die Sache mit der Substitution nicht wirklich. Könnte mich jemand auf diesen Fehler hinweisen?
