Stammfunktion: ∫ (5·x + 1)/(x^2 - 1) dx

Question

Ich wollte den linken Teil dieser Gleichung integrieren und kam auf das Ergebnis auf der rechten Seite. Ich weiß zwar, dass dieses Ergebnis falsch ist, verstehe jedoch nicht ganz warum. Hier die Gleichung:

\( \int \frac{5 x+1}{x^{2}-1} d x=(2 x)\left((5 x+1) \log \left(x^{2}-1\right)\right) \)

Ich würde hier gerne die Substitution anwenden und wollte dafür z=x²-1 substituieren. Mit dz/dx=2x ergibt sich dann dx=dz/(2x)

Damit nehme ich also wie gewohnt mal und erhalte

2x * ∫(5x+1)/z dz daher integriere ich nun nach z und erhalte 2x * (5x+1)*log(z)

Nun setze ich für z wieder x²-1 ein:

2x * (5x+1)*log(x²-1)

Wo befindet sich der Fehler?

Comments

So bringst du durch die Substitution nur die 5x weg.

Teile deinen Integranden auf

(5x+1)/(x^2-1) = 5x/(x^2 - 1) + 1/(x^2 -1)
Den zweiten Teil findest du vielleicht bei den Areafunktionen. Einfacher vielleicht die Variante von Mathecoach.

Substitution beim 1. Teil:

z= x^2 -1

dz/dx = 2x

dz / (2x) = dx

Answer 1

Zunächst mal heißt es dz/(2x)

Und das darfst du doch nicht so einfach aus dem Integral als 2x rausziehen. Wie kommst du darauf?

Ich würde hier zunächst über eine Partialbruchzerlegung beigehen

∫ (5·x + 1)/(x^2 - 1) dx

= ∫ (5·x + 1)/((x + 1)·(x - 1)) dx

= ∫ (2/(x + 1) + 3/(x - 1)) dx

Infos zur Partialbruchzerlegung unter http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/partialbruchzerlegung.htm

Jetzt kannst du es bequem einzeln integrieren

= 2·LN(x + 1) + 3·LN(x - 1)

Comments

Ich weiß, dass sich die Partialbruchzerlegung hier anbietet aber würde die Aufgabe zur Übung gerade deshalb dennoch gerne per Substitution lösen. Das man die 2x nicht einfach so rausziehen darf dachte ich mir schon, wäre wohl auch zu einfach sonst, schade. Müsste ich, wenn ich die Substitution so stur durchführen wollen würde dann die 2 rausziehen aber innerhalb des Integrals durch x teilen und das dann integrieren? Wobei selbstverständlich die Variante von Lu dann deutlich schneller wäre.

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Mit 2 rausziehen meine ich mal 0,5 nehmen, dass war natürlich ungünstig ausgedrückt