Term berechnen und vereinfachen: (1/x+1/y)(x-y)+(x+y)(1/x-1/y)

Question

Hallo wie kann man den folgenden Term am schnellsten vereinfachen?

(1/x+1/y)(x-y)+(x+y)(1/x-1/y)

darf man einfach 0 hin schreiben oder muss der Rechenweg ersichtlich sein?

Answer 1

 

wenn der Term tatsächlich so lautet

(1/x+1/y)*(x-y)+(x+y)*(1/x-1/y)

dann ist dies gleichbedeutend mit

1 + x/y - y/x - 1 + 1 - x/y + y/x - 1

Das ergibt, wie von Dir angegeben, 0.

 

Ich hätte auf Anhieb diese Lösung nicht gesehen - ein Rechenweg wie oben angegeben kann in der Tat nicht schaden

:-D

 

Besten Gruß

Comments

1 + x/y - y/x - 1 + 1 - x/y + y/x - 1  Wie kommen sie sie auf diesen Rechenweg?

---

Nun, ich habe die Klammern einfach gliedweise ausmultipliziert:

(1/x+1/y)*(x-y) =

(1/x * x) + [1/x * (-y)] + (1/y * x) + [1/y * (-y)] =

1 - y/x + x/y - 1

und

(x+y)*(1/x-1/y) =

(x * 1/x) + [x * (-1/y)] + (y * 1/x) + [y * (-1/y)] =

1 - x/y + y/x - 1

Das alles aufsummiert ergibt 0.

Answer 2

darf man einfach 0 hin schreiben oder muss der Rechenweg ersichtlich sein?

Der Rechenweg muss bestimmt ersichtlich sein, wenn du Punkte bekommen willst.

Das ist aber keine Hexerei:

(1/x+1/y)(x-y)+(x+y)(1/x-1/y)

= ((y+x)/(xy))(x-y) + (x+y)(y-x)/(xy)

= ((y+x)(x-y))/(xy) - ((x+y)(x-y))/(xy)

= 0

Nur definiert für: xy≠0.

Comments

Na, für x=y=1 beispielsweise ist das auch nicht definiert...

---

hh18: Wie meinst du das?

(1/1+1/1)(1-1)+(x+y)(1/1-1/1) = 2*0 + 2*0 = 4*0 = 0.

---

Hi Lu! Vergiß es, ich habe den Term falsch gelesen!

Answer 3

Der Rechenweg muss ersichtlich sein

(1/x + 1/y)·(x - y) + (x + y)·(1/x - 1/y)

= (y/(x·y) + x/(x·y))·(x - y) + (x + y)·(y/(x·y) - x/(x·y))

= (x + y)/(x·y)·(x - y) + (x + y)·(y - x)/(x·y)

= ((x + y)·(x - y) + (x + y)·(y - x))/(x·y)

= ((x + y)·(x - y) - (x + y)·(x - y))/(x·y)

= 0/(x·y)

= 0

Answer 4

wie kann man den folgenden Term am schnellsten vereinfachen?

Hi, vielleicht so:

$$ \begin{aligned} & \left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\cdot\left(x-y\right)+\left(x+y\right)\cdot\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right)\\ \\ = & \left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\cdot\left(x-y\right)+\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{x}\right)\cdot xy\cdot\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right)\\ \\ = & \left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\cdot\left(x-y\right)+\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{x}\right)\cdot\left(y-x\right)\\ \\ = & \left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\cdot\left(x-y\right)-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\cdot\left(x-y\right)\\ \\ = & 0. \end{aligned} $$

Ich habe xy aus der dritten Klammer ausgeklammert und in die vierte Klammer hinein multipliziert. Danach habe ich gekürzt und sortiert und dann sieht man schon, das Null herauskommt.