Ein innerer Punkt einer Menge A ist dort einer, zu dem es
der eine ganze offene Umgebung gibt, die noch in A enthalten ist.
Bei einem Intervall von ℝ sind das jedenfalls alle
Punkte im Inneren des Intervalls. Die Randpunkte muss man
extra betrachten. Zum Beispiel ist es bei
\( M_{1}=[-1,1) \cap[0,1] \) so, dass man erst mal überlegen
muss, was \( [-1,1) \cap[0,1] \) ist. Das ist \( M_{1}=[0,1) \).
Und außer der 0 gibt es bei jedem Punkt von M1 eine
Umgebung die ganz zu M1 gehört. Damit ist das Innere
von M1 das offene Intervall von 0 bis 1, also
\( M_{1}^{0}=(0,1) \).
Bei Abschluss muss man ähnlich überlegen: Gibt es Punkte, die
selber nicht in M1 liegen, aber jede Umgebung des Punktes
enthält Elemente aus M1. Das hier der Punkt 1. Der Abschluss
von M1 entsteht, wenn man zu M1 diesen Punkt hinzunimmt,
also ist der Abschluss von M1 = [0,1] das abgeschlossene (!)
Intervall von 0 bis 1. Und Abschluss ohne Inneres ist der
Rand, hier also die Menge {0,1}.
