Aufgabe:
Zeige mit Hilfe der Definition der Stetigkeit, dass die Funktion f : ℝ → ℝ mit
\( \frac{1}{1+√|x|} \)
im Punkt \( x_{0} \) = 0 stetig ist.
Mein Lösung:
Wir wollen zeigen: ∀ε > 0 ∃δ> 0 ∀x∈ℝ: |x - \( x_{0} \)| < δ ⇒ |f(x)-f(\( x_{0} \))| < ε
Sei ε > 0 beliebig und \( x_{0} \) = 0. Wähle dann δ(ε) = \( ε^{2} \). Denn dann gilt für alle x∈(\( x_{0} \)-δ,\( x_{0} \)+δ):
|f(x)-(\( x_{0} \))| = |\( \frac{1}{1+√|x|} \) - \( \frac{1}{1+√|x_{0}|} \)| = |\( \frac{1}{1+√|x|} \) - 1| = |\( \frac{1 - 1 - √|x|}{1+√|x|} \)|
= |\( \frac{-√|x|}{1+√|x|} \)| = √|x| * |\( \frac{1}{1+√|x|} \)| ≤ √|x| = √|x-\(x_{0}\)| < √δ ≤ ε .
Ist die Lösungsstrategie korrekt ?
