Ableitung Schädlingsbekämpfung Übung

Question

Nach der Ausbringung eines Pflanzenschutzmittels auf einem Weizen- sowie auf einem Maisfeld verläuft der Bestand eines Schädlings gemäß ; w(t) = (t+1) / e^{beta*t} auf dem Weizenfeld bzw. m(t) (t+1) / (alpha + t² ) auf dem Maisfeld für t >gleich 0 (in Tagen), dabei sind alpha > 0 bzw. beta > 0 durch das Verhältnis von genetisch modifiziertem zu konventionellem Anteil im Saatgut einstellbare Werte.

i) zu welchem Zeitpunkt nehmen die Schädlingsmengen jeweils den maximalen Wert an (in Abhängigkeit von alpha bzw. beta)?

(ii) Wie müssen alpha bzw. beta gewählt werden, damit der maximale Wert nach 36 Stunden erreicht wird?

(iii) Wie wirkt sich eine Vergrößerung des genetisch modifizierten Anteils-also ein größeres alpha bzw. beta auf den Zeitpunkt und, bei w (t), auf den Wert des Maximums des Schädlings aus ( früher/ später,wird der wert größer oder kleiner)?

(iv)  Auf welchem der beiden Felder nimm die Gesamtmenge des Schädlings langfristig schneller ab?

Comments

Stimmen die Formeln in der Aufgabenstellung ?
Für b = 2 sieht die Funktion w ( t ) folgendermaßen aus


und hat den Hochpunkt bei t = -0.5 !!!.

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@Georg: α und β sind bestimmt wegen Zitat: "dabei sind alpha > 0 bzw. beta > 0 durch das Verhältnis von genetisch modifiziertem zu konventionellem Anteil im Saatgut einstellbare Werte." Zitat Ende als Prozentwerte zu verstehen. Also z.B. 50% gen. modifiziert, 70% gen. modifiziert... dann gilt 0 ≤ α,β  ≤ 1. Gebe aber zu, dass die Aufgabe recht schwammig formuliert ist... Begin Unsinn Andererseits gilt ja auch "viel hilft viel", dann setzt bei doppelter Ladung gen. modifiziertem Dünger das Schädlingssterben eben sofort ein ;) Oder wir kippen nach vorliegendem Modell das ganze Areal mit der 100fachen Menge zu, dann ersticken die Viecher binnen Nanosekunden... Ende Unsinn :)

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α und β sind bestimmt wegen Zitat: "dabei sind alpha > 0 bzw. beta > 0 durch dasVerhältnis von genetisch modifiziertem zu konventionellem Anteil im Saatgut einstellbare Werte

Wenn ich 0.9 = 90% genetisch modifiziertes und 0.1 = 10% konventionelles Saatgut verwende wäre das Verhältnis eventuell 0.9/0.1 und damit 9.

Es sei denn ich habe hier etwas falsch verstanden.

Meine Lösung bei ii) ergibt auch einen Wert von Alpha größer als 1.

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schiffsbauer

Wie der Mathecoach schon schrieb erhält man für ii) alpha = 5.25.
Also kann deine Vermutung : 0 < alpha < 1 nicht stimmen.

Aufgrund der unklaren Sachlage werde ich mich mit der Aufgabe
aber nicht mehr beschäftigen.

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stimmt. für α passt die Vermutung nicht. :/

Answer 1

w(t) = e^{- t·β}·(t + 1)

w'(t) = - e^{- t·β}·(t·β + β - 1)

m(t) = (t + 1)/(α + t^2)

m'(t) = - (t^2 + 2·t - α)/(t^2 + α)^2

i) zu welchem Zeitpunkt nehmen die Schädlingsmengen jeweils den maximalen Wert an (in Abhängigkeit von alpha bzw. beta)?

w'(t) = 0 --> t·β + β - 1 = 0 --> t = (1 - β)/β

m'(t) = 0 --> t^2 + 2·t - α = 0 --> t = -1 ± √(α + 1)

(ii) Wie müssen alpha bzw. beta gewählt werden, damit der maximale Wert nach 36 Stunden erreicht wird?

Weizen: t = (1 - β)/β = 1.5 --> β = 0.4

Mais: t = -1 ± √(α + 1) = 1.5 --> α = 5.25

Comments

Das waren auch die Ergebnisse meiner Berechnungen.