Aufgabe:
Die Bekämpfung sich sehr schnell vermehrender Schädlinge mit Pestiziden führt meist nicht zur sofortigen Beseitigung, da die Wirkung der eingesetzten Bekämpfungsmittel erst nach und nach einsetzt. Mit der Funktion s(t) soll der Schädlingsbestand in Abhängigkeit von der Zeit t beschrieben werden, wobei gilt, \( \mathrm{s}(\mathrm{t}) \) ist die Anzahl der Schädlinge in 1000 Stück, \( \mathrm{t} \) ist die Zeit in Tagen nach dem Einsatz des Pestizids und \( s(t)=e^{0,2 t}\left(50-e^{0,2 t}\right)=50 e^{0,2 t}-e^{0,4 t} \).
a) Bestimme im Rahmen einer vollständigen Kurvendiskussion die markanten Stellen und Bereiche der Funktion s.
b) Zeichne den Graphen von s(t).
c) Bestimme, wie viele Schädlinge sich in dem relevanten Zeitraum auf den Pflanzen entwickelt haben. (Hinweis: den Einstieg in die Integralrechnung machen wir kommende Woche)
d) Interpretiere die Ergebnisse aus a) im Sachkontext.
e) Verschiedene Pestizide wirken unterschiedlich schnell und stark und können durch die Funktion \( s_{k} \) mit \( s_{k}(t)=e^{k t}\left(50-e^{k t}\right)=50 e^{k t}-e^{2 k t} \) beschrieben werden. Beschreibe, wie sich der Parameter \( \mathrm{k} \) auf die Beseitigung auswirkt und entscheide ob Du ein Pestizid mit einem bestimmten k-Wert empfehlen würdest.
Problem/Ansatz:
Ich komme bei Aufgabe b) und c) nicht weiter. Ich habe das Thema Integral noch gar nicht gehabt, soll es aber durch integrieren lösen.
