Analysis Aufgabe, Kurvendiskussion! Integral! Fläche..

Question

Aufgabe: Lippen Analysis 1

Die Kosmetikfirma „lipline", die sich auf die Produktion von Lippenpflegeprodukten spezialisiert hat, möchte ein neues Firmenlogo entwerfen. Die PR-Abteilung der Firma schlägt dem Vorstand vor, dem neuen Firmenlogo die Form eines „Kussmundes" zu verleihen. Die Umrandung der Oberlippe entspricht dem Graphen einer achsensymmetrischen Funktion vierten Grades (f1), welche an der Stelle
x= 4 eine Nullstelle und an der Stelle x = -2 ein relatives Extremum besitzt. Zudem schneidet der Graph
die y-Achse an der Stelle y=2. Für die Randlinie der Unterlippe soll der Graph einer quadratischen Funktion fz benutzt werden, die durch die Funktionsgleichung f2 (x) = 1/8x^2 - 2 gegeben ist.

a) Bestimme die Gleichung der Funktion f1, welche die Randlinie der Oberlippe beschreibt.

b) Für die Nachbildung des Logos ist es wichtig, dem Designebüro die richtigen Daten zu markanten Punkten des Logos zu übermitteln, sowie die Größe des Kussmundes genau anzugeben.
Ermittle wichtige Größen, die für die Umsetzung des Logos relevant sind und stelle diese dar.

c) Die PR-Abteilung der Kosmetikfirma schlägt vor, den Firmennamen „lipline" als Schriftzug so in den Kussmund zu integrieren, dass er in einem Rechteck zwischen der x-Achse und der Unterlippenrandli-nie erscheint.
Berechne die Maße und die Fläche des entsprechenden Rechtecks.

Problem/Ansatz:

Ich habe nur verstanden, wie man vorgeht, komme aber leider nicht weiter! Bitte hilft mir. Bitte…habe nur noch 2 Tage Zeit!

Comments

Ab welcher Stelle kommst du nicht weiter?

Answer 1

a) f1(x) = ax^4+bx^2+c

f1(4) = 0

f1'(-2) = 0

f1(0) = 2

Answer 2

Die Umrandung der Oberlippe entspricht dem Graphen einer achsensymmetrischen Funktion vierten Grades (f1), welche an der Stelle \(x= 4\) eine Nullstelle und an der Stelle \(x = -2 \) ein relatives Extremum besitzt. Zudem schneidet der Graph die y-Achse an der Stelle \(y=2\) .

Die Achsensymmetrie bewirkt, dass eine weitere Nullstelle an der Stelle \(x=-4\) eine weitere Nullstelle ist. Nullstellenform der Parabel 4. Grades:

\(f(x)=a(x-4)(x+4)(x-N)(x+N)=a(x^2-16)(x^2-N^2N)=a(x^4-N^2x^2-16x^2+16N^2)  \)

Y\((0|2)\):

\(f(0)=a(16N^2)  \)    

\(a(16N^2)=2  \)    \(a=\frac{1}{8N^2}  \) :

\(f(x)=\frac{1}{8N^2} (x^4-N^2x^2-16x^2+16N^2)  \)

\(x = -2 \) ein relatives Extremum:

\(f'(x)=\frac{1}{8N^2} (4x^3-2N^2x-32x)  \)

\(f(-2)=\frac{1}{8N^2} (-32+4N^2+64) =\frac{1}{8N^2} (4N^2+32) \)

\(\frac{1}{8N^2} (4N^2+32)=0 \)

\(N^2=-8 \)

\(a=-\frac{1}{64}  \) 

\(f(x)=-\frac{1}{64} (x^4-8x^2-128)  \)

Comments

Moliets, das Rechteck für den Schriftzug soll zwischen x-Achse und Unterlippenrand liegen:

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Danke dir, ich habe nicht genau gelesen.