Grenzwertaufgaben mit Logarithmus ln((2x)^x^3) / 1-cos(3x)

Question

Wie bekomme ich den Grenzwert heraus bzw. wie geht man allgemein vor?

\( \lim \limits _ {x → 0^{+}} \frac{\ln \left((2 x)^{x^{2}}\right)}{1-\cos (3 x)} \)

Answer 1

ln (  (2x) ^{x hoch 3} )    /   ( 1 - cos(3x) )

= x^3 * ln (2x)          /      ( 1 - cos(3x) )

=   ln(2x)                /    (     ( 1 - cos(3x) ) / x^3     )

Für x gegen 0   geht      ln(2x)  gegen - unendlich und der
Bruch im Nenner  des Bruches ist vom
Typ     0 / 0   also wenden wir hier d ' Hospital an und bekommen

3 * sin(3x) /     3x^2    =    sin(3x)  /   x^2   immer noch  Typ 0/0, also noch Mal:

3* cos (3x) /  2x      und das geht für x gegen 0   auch gegen unendlich.

Damit ist
  ln(2x)                /     ( 3* cos (3x) /  2x  )   vom Typ - unendlich durch + unendlich
                          kann also auch mit d ' Hospital bearbeitet werden

2* 1 / (2x)            /    ( - 2x * 9 sin(3x) - 3 cos(3x) * 2 ) / 4x^2

=  4x    /  (  -18x* sin ( 3x)  -  6 cos (3x) )
und jetzt hat man Zähler gegen 0 und Nenner gegen -6 also insgesamt GW=0