Grenzwertaufgaben berechnen

Question

Berechnen Sie durch geschickte Umformung, Anwendung von Grenzwert-Rechenregeln und letztlich die Zurückführung auf Nullfolgen (oder bekannte Limites):

1. lim (n→∞): (√((n+3)n) -n)2. lim (n→∞): (3ⁿ+n+πⁿ)^(1/(n+1)3. lim (n→∞):  n*(log(n+x)-log(n) mit x∈ℝ4. lim (n→∞): (((n+2)^k-n^k)/(n^(k-1))) mit k∈ℕ5. lim (n→∞): ((1/n^2)+(2/n^2)+(3/n^2)+...+((n-1)/n^2)+(n/n^2)(Hinweise: Erweitern; Ausklammern des größten Terms; exp(x); Binomialsatz; ∑-Formel.)

Answer 1

(√((n+3)n) -n)    erweitern mit  (√((n+3)n) +n)  gibt

(√((n+3)n) -n)*(√((n+3)n) + n)     /    (√((n+3)n) + n)

=  ( n² + 3n - n² )      /    (√((n+3)n) + n)


=   3n    /    (√((n+3)n) + n)

=    3n    /    (√(n²+3n) + n)

=    3n    /    (n√(1+3/n) + n)

=   3 /    (√(1+3/n) + 1)

geht gegen  3/2 .