Berechnen Sie die Grenzwerte. Bsp. y=(2x+4)/(3x-2), x gegen +unendlich

Question

a.) y=(2x+4)/(3x-2),   x gegen +unendlich

R:

y=(2x+4)/(3x-2)

=x*(2+4)/(x*(3-2))

=6/1

=6

b.) y=2x/(x-1)    ,x gegen +unendlich

R:

y=x*(2)/x*(-1)

=-2

c.) y=(3x^5-1)/(x^5-x^4+x^2-1),    x gegen +unendlich

Ich weiß nun das ich durch ausklammern der x werte mit dem höchsten Exponenten einmal das x wegkürzen kann und dann 0-Folgen bilden kann. Aber irgendwie gelingt mir das nicht.

Danke für eure Tipps und Hilfen,

Comments

Hallo spikemike,

ab und zu hast schon ganz gute eigene Antworten gegeben aber
in der Mehrzahl deiner Antworten sind völlige " Anfängerfehler "
vorhanden weshalb eine Vielzahl der Antworten dadurch schlichtweg
falsch werden.

Ich empfehle dir irgendwo einmal Umformungen von Gleichungen zu
üben. Es gibt sicher Internetseiten die dies anbieten

Erst wenn dies sitzt kannst du deine Kenntnisse auch in schwereren
Aufgaben anwenden.

Also üben, üben, üben und nochmals üben.

Viel Erfolg.

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Danke für den Hinweis, ich sehe da unter anderem auch Aufholbedarf.

Mache mich gleich an die Arbeit, danke.

Answer 1

a.) y=(2x+4)/(3x-2),   x gegen +unendlich

R:

y=(2x+4)/(3x-2) 

=x*(2+4/x)/(x*(3-2/x))

=(2+4/x)/*(3-2/x))

lim x--> unendlich

--------> (2+0)/(3-0) = 2/3 

Bei b) gleicher Fehler. 

b.)   y=2x/(x-1)    ,x gegen +unendlich

y=2x/(x*(1 -1/x)    ,x gegen +unendlich

 y=2/(1-1/x)    ,x gegen +unendlich

--------> 2 /(1-0) = 2/1 = 2.

c.) y=(3x⁵-1)/(x⁵-x⁴+x²-1),    x gegen +unendlich

y=x^5(3-1/x^5)/(x^5(1-1/x +1/x^3-1/x^5)),    x gegen +unendlich

y=(3-1/x^5)/((1-1/x +1/x^3-1/x^5),    x gegen +unendlich

-------> (3 - 0)/(1 -0 + 0...) = 3/1 = 3

Comments

Hallo Lu;

Ich gehe davon aus, dass hier.....

y=(3-1/x⁵)/((1-1/x +1/x³-11/x⁵)

, ganz hinten vor dem x^5, -1 gemeint war, danke.y=(3-1/x⁵)/((1-1/x +1/x³-11/x⁵)

Es kann natürlich auch sein, was ich fast vermute, dass es Ein eintel durch x  heisst.

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Richtig: Habe ich korrigiert.

Wichtig ist einfach, dass alle Summanden mit Potenzen von x im Nenner gegen 0 gehen und beim Grenzübergang verschwinden.

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Wenn ich also gegen + unendlich gehen soll wie es in der Angabe gefordert ist nehme ich mir meine Regel:

Zaehlerglied>Nennerglied und lasse die im Nenner gegen NULL also Nullfolge, laufen. Das bedeutet dann, dass sie nicht mehr auftauchen und sind damit unendlich soweit ich das jetzt verstanden habe.

Was mich jetzt noch interessieren würde ist wie es sich bemerkbar macht ob ich im Zaehler oder im Nenner eine "Nullfolge bastle". Ich nehme doch den höchsten Exponenten heraus und muss dann den selben sowohl im ZG wie auch im NG herausheben. Welchen Einfluss sollte ich da haben?

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Achtung:

Hauptbruchstrich:

Man macht im Zähler und im Nenner immer dasselbe. Man will ja kürzen können.

Daher klammert man die höchste Potenz von x im Nenner oben und unten aus.

Kleinere Bruchstriche oben und unten:

Wenn in ihnen oben eine Zahl und unten eine Potenz von x steht, gehen die kleinen Brüche alle einzeln gegen 0.

Resultat:

Es bleibt unten der Koeffizienten der höchsten Potenz von x im Nenner der gegebenen Funktion stehen.

Oben musst du dann schauen. Da kann eine beliebige reelle Zahl oder unendlich stehen bleiben, je nach Grad des gegebenen Zählers.

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Weiteres Beispiel:

y=(x^4+2x+12)/(17x^3-2x^2) , x gegen + unendlich

y=x^3*(1/x+2*1/x^2+12/x^3)/(x^3*(17*1/x^6-2*1/x^5)

y=2/17-2

y=2/15

Warum steht den da im Lösungsbuch, dass die Funktion gegen + unendlich nicht definiert sei?

Liegt wohl dran, dass das Zaehlerglied grßer als das Nennerglied ist oder?

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y=(x⁴+2x+12)/(17x³-2x²) , x gegen + unendlich

y=x³*(x+2*1/x²+12/x³)/(x³*(17*1-2*1/x)

Überlegungsfehler: Potenzregeln beachten!Nun klar? Schreibe immer die gekürzte Zeile auch noch hin. y=(x+2*1/x²+12/x³)/((17*1-2*1/x)

--------> ∞/17 = ∞ 

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y=(x⁴+2x+12)/(17x³-2x²) , x gegen + unendlich

y=x³*(1/x^7+2*1/x²+12/x³)/(x³*(17*1/x⁶-2*1/x⁵)

y=2/17-2

y=2/15

Habe oben in der zweiten Zeile x^7 ergänzt, denn x^3*1/x^7 sind ja schon x^4 denke ich einmal.

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Denke nochmals genauer nach und versuche erst meine Korrektur oben zu durchschauen.

x^3 * 1/x^7 = 1/x^4 und nicht x^4.

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Voll erwischt, die Potenzregel wars, in Ordnung.

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Kann ich die Antwort, die Funktion ist bei + unendlich nicht definiert weil das Ergebnis unendlich kein endlicher Grenzwert ist, stehen lassen?

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Normalerweise schreibt man einfach

lim_(x->unendlich) f(x) = ∞

und lässt das dann stehen.

Der Leser versteht so, dass die Funktion für x gegen unendlich keinen Grenzwert hat.

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e.) y=(x²-12x+47)/(x^3-12x+4) , x gegen + unendlich

y=x^3*(1/x-12*1/x^2+47*1/x³)/x^3*(1-12*1/x^2+4*1/x^3)

y=(1/x-12*1/x^2+47*1/x³)/(1-12*1/x^2+4*1/x^3)

y=0/1

y=0

limes x gegen + unendlich ist 0. Der liegt als im Ursprung oder wie?

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e.) y=(x²-12x+47)/(x³-12x+4) , x gegen + unendlich

y=(x³*(1/x-12*1/x²+47*1/x³))/(x³*(1-12*1/x²+4*1/x³))     | im Nenner muss die rote Klammer stehen.

y=(1/x-12*1/x²+47*1/x³)/(1-12*1/x²+4*1/x³) 

---------> für x gegen unendlich        |Grenzübergang muss klar gekennzeichnet sein. 

lim_(x-> unendlich) f(x) =0/1  = 0

limes x gegen + unendlich von f(x) ist 0. Der liegt als im Ursprung oder wie?

Nein im Koordinatensystem rechts aussen (unendlich weit weg) Ich habe mal 3 Punkte ziemlich weit rechts eingezeichnet. Du kannst rauszoomen und weitere Punkte auf der x-Achse ergänzen. Bsp {100|0}, ...

~plot~(x^2-12x+47)/(x^3-12x+4);[[-12|12| -8|8]];{8|0};{9|0};{10|0}~plot~

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Ja gut also gegen Null bedeutet in diesem Fall, dass sich die Funktion im + unendlichen der x abzisse annähert.

Ps: Ich habe kein Mausrad :-) Nur Joystickknopf.

Aber ich habe es oben in die Kommandozeile eigeben können.

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(x^2-12x+47)/(x^3-12x+4);[[20|1000|-20|100]];{8|0};{9|0};{70|0}

Er zeigt mir diese eingabe nicht an ?!

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Das letzte Beispiel in diese- Posting:

(x^2-12x+47)/(x^3-12x+4);

y=2*e^{0,03*x}/((19+e^{0,03*x})  , für x gegen unendlich

Ich weiß inzwischen, dass lim x gegen + unendlich e^{-x...}=0 definiert ist.

Beim obigen Beispiel würde ich e^{0,03*x} ausklammern, kürzen und es bliebe mir 2/19 stehen.