wie beweise ich das Ao(x) = f(x) ist?

Question

Ich weiß, dass die Bedigung

A‘ o(x)n= f(x) und Ao(0)= 0 gegeben sein soll

Und A‘(x) = lim  A0(x+h)-A0(x) / h

 

Aber wie geh ich vor muss ich erst sgen ich teile es in 3 hs min und maximum und dann die Mitte auf 0 laufen lassen damit ich am ende

F(x)<A‘(x)<f(x) habe ?

Welche Vokabeln sollte ich benutzen um es Mathematisch zu erklären ?

 

Danke

Answer 1

Hi,
also ehrlich gesagt weiss ich nicht was Dein Anliegen ist. Was soll $A_0'(x)_n$ bedeuten ? Also insbesondere das $n$? Was soll $F(x)$ für eine Bedeutung haben. Ist $F(x) = \int f(x) dx$? Und ist  $A(x) = A_0(x)$ oder ist $A(x)$ eine andere Funktion als $A_0(x)$. Und als letztes, was soll denn eigentlich bewiesen werden?

Comments

Ich hab es gelesen und verstehe es trotzdem nicht kann man es einfachernerklären ?

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Hi,
die Funktion $A(x)$ beschreibt die Fläche unter der Funktion $f(x)$  im Bereich $[0, x]$. Damit beschreibt die Funktion $A(x+h) - A(x)$ die Fläche unter $f(x)$ im Bereich $[x, x+h]$ Da die Funktion $f(x)$ stetig ist, nimmt diese auf dem kompakten Intrvall $[x, x +h]$ ihr Minimum und Maximum an. Deshalb gilt
$$\underset {\xi \in [x, x+h]}{\min }f(\xi) \cdot h \le A(x+h) - A(x) \le \underset {\xi \in [x, x+h]}{\max }f(\xi) \cdot h$$
Daraus folgt
$$\underset {\xi \in [x, x+h]}{\min }f(\xi) \le \frac{A(x+h) - A(x)}{h} \le \underset {\xi \in [x, x+h]}{\max }f(\xi)$$
Wenn nun $h \to 0$ geht, wird das Intervall $[x,x+h] \to [x,x]$, enthält also nur noch ein einiziges Element, nämlich $x$. Das heisst, es gilt
$$\underset {\xi \in [x, x]}{\min }f(\xi) = \underset {\xi \in [x, x]}{\max }f(\xi) = f(x)$$
Und der Ausdruck $$\frac{A(x + h) - A(x)}{h}$$  wird  $$\frac{A(x + h) - A(x)}{h} = A'(x)$$
Insgesamt gilt also $$A'(x) = f(x)$$

Da die Funktion $A(x)$ die Fläche unter der Funktion $f$ im Bereich $[0,x]$ ist, gilt
$$\min f \cdot x \le A(x) \le \max f \cdot x$$ und daraus folgt für $x \to 0$ das gilt $0 \le A(0) \le 0$ also $$A(0) = 0$$