wie beweise ich das Ao(x) = f(x) ist?

Question

Ich weiß, dass die Bedigung

A‘ o(x)n= f(x) und Ao(0)= 0 gegeben sein soll

Und A‘(x) = lim  A0(x+h)-A0(x) / h

 

Aber wie geh ich vor muss ich erst sgen ich teile es in 3 hs min und maximum und dann die Mitte auf 0 laufen lassen damit ich am ende

F(x)<A‘(x)<f(x) habe ?

Welche Vokabeln sollte ich benutzen um es Mathematisch zu erklären ?

 

Danke

Answer 1

Hi,
also ehrlich gesagt weiss ich nicht was Dein Anliegen ist. Was soll \( A_0'(x)_n \) bedeuten ? Also insbesondere das \( n \)? Was soll \( F(x) \) für eine Bedeutung haben. Ist \( F(x) = \int f(x) dx \)? Und ist  \( A(x) = A_0(x) \) oder ist \( A(x) \) eine andere Funktion als \(  A_0(x) \). Und als letztes, was soll denn eigentlich bewiesen werden?

Comments

Ich hab es gelesen und verstehe es trotzdem nicht kann man es einfachernerklären ?

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Hi,
die Funktion \( A(x) \) beschreibt die Fläche unter der Funktion \( f(x) \)  im Bereich \( [0, x] \). Damit beschreibt die Funktion \( A(x+h) - A(x) \) die Fläche unter \( f(x) \) im Bereich \(  [x, x+h] \) Da die Funktion \( f(x) \) stetig ist, nimmt diese auf dem kompakten Intrvall \( [x, x +h] \) ihr Minimum und Maximum an. Deshalb gilt
$$  \underset {\xi \in [x, x+h]}{\min }f(\xi) \cdot h \le A(x+h) - A(x) \le \underset {\xi \in [x, x+h]}{\max }f(\xi) \cdot h  $$
Daraus folgt
$$  \underset {\xi \in [x, x+h]}{\min }f(\xi) \le \frac{A(x+h) - A(x)}{h} \le \underset {\xi \in [x, x+h]}{\max }f(\xi) $$
Wenn nun \( h \to 0 \) geht, wird das Intervall \( [x,x+h] \to [x,x] \), enthält also nur noch ein einiziges Element, nämlich \( x \). Das heisst, es gilt
$$  \underset {\xi \in [x, x]}{\min }f(\xi) = \underset {\xi \in [x, x]}{\max }f(\xi) = f(x) $$
Und der Ausdruck $$ \frac{A(x + h) - A(x)}{h} $$  wird  $$ \frac{A(x + h) - A(x)}{h} = A'(x)  $$
Insgesamt gilt also $$ A'(x) = f(x)  $$

Da die Funktion \( A(x) \) die Fläche unter der Funktion \( f \) im Bereich \( [0,x] \) ist, gilt
$$ \min f \cdot x \le A(x) \le \max f \cdot x $$ und daraus folgt für \( x \to 0 \) das gilt \( 0 \le A(0) \le 0 \) also $$ A(0) = 0  $$