Hi,
die Funktion A(x) beschreibt die Fläche unter der Funktion f(x) im Bereich [0,x]. Damit beschreibt die Funktion A(x+h)−A(x) die Fläche unter f(x) im Bereich [x,x+h] Da die Funktion f(x) stetig ist, nimmt diese auf dem kompakten Intrvall [x,x+h] ihr Minimum und Maximum an. Deshalb gilt
ξ∈[x,x+h]minf(ξ)⋅h≤A(x+h)−A(x)≤ξ∈[x,x+h]maxf(ξ)⋅h
Daraus folgt
ξ∈[x,x+h]minf(ξ)≤hA(x+h)−A(x)≤ξ∈[x,x+h]maxf(ξ)
Wenn nun h→0 geht, wird das Intervall [x,x+h]→[x,x], enthält also nur noch ein einiziges Element, nämlich x. Das heisst, es gilt
ξ∈[x,x]minf(ξ)=ξ∈[x,x]maxf(ξ)=f(x)
Und der Ausdruck hA(x+h)−A(x) wird hA(x+h)−A(x)=A′(x)
Insgesamt gilt also A′(x)=f(x)
Da die Funktion A(x) die Fläche unter der Funktion f im Bereich [0,x] ist, gilt
minf⋅x≤A(x)≤maxf⋅x und daraus folgt für x→0 das gilt 0≤A(0)≤0 also A(0)=0