Extremalprobleme // Oberflächenformel

Question

Hi hier meine Vorschläge zur Aufgabe:

Eine Firma stellt oben offene Regentonnen für Gärtner her. Diese sollen bei gegebenem Materialbedarf maximales Volumen besitzen.

a) Wie sind die Abmessungen zu wählen wenn 2m² Material je Tonne verfügbar sind?

HB: V(r,h) = hπr²

NB:2m²=πr²+h*2πr

--> Nach h/r auflösen und in HB einsetzen

Ableitung bilden und gleich Null setzen

b)Löse die Aufgabe allgemein.

Ist damit gemeint, ohne gegebenen Materialbedarf die Lösung aufzustellen oder mithilfe eines Kurvenschars fa(X) ?

Luis

Comments

Zusatz: Wie kann ich nach r umstellen? πr ausklammern ? 

Answer 1

HB: $$V(r,h) = hπr² $$
NB:$$M=πr^2+h*2πr  $$
M steht für die Materialmenge allgemein ohne konkrete Zahlenangabe
$$0=π \cdot r^2+2hπ \cdot r-M  $$
$$0= r^2+2h \cdot r-\frac M\pi  $$quadratische Ergänzung:
$$0= r^2+2h \cdot r+h^2-h^2-\frac M\pi  $$
$$0= (r^2+2h \cdot r+h^2)-h^2-\frac M\pi  $$
$$0= ( r+h)^2-h^2-\frac M\pi  $$
$$( r+h)^2=h^2+\frac M\pi  $$
$$r+h=\pm \sqrt{h^2+\frac M\pi}  $$
$$r=-h \pm \sqrt{h^2+\frac M\pi}  $$
in Ermangelung der Sinnhaftigkeit negativer Radien:
$$r=-h + \sqrt{h^2+\frac M\pi}  $$

Comments

$$ V(r,h) = hπr² $$
$$ 0=π \cdot r^2+2hπ \cdot r-M$$
Variante Auflösung nach hr:
$$ V(r,h) = hr \cdot \pi \cdot r$$
$$ 2hπ \cdot r=M-π \cdot r^2 $$
$$ h  r=\frac{M-π \cdot r^2}{2 \, \pi} $$
Einsetzen in V(r,h)
$$ V(r,h) = \frac{M-π \cdot r^2}{2 \, \pi}  \cdot \pi \cdot r$$
$$ V(r) = \frac{M-π \cdot r^2}{2 }  \cdot  r$$
$$ V(r) = \frac{Mr-π \cdot r^3}{2 }  $$Ableitung nach r
$$ V'(r) = \frac{M-3 \, π \cdot r^2}{2 }  $$
Nullstelle der Ableitung:
$$ 0 = \frac{M-3 \, π \cdot r^2}{2 }  $$
$$ 0 = M-3 \, π \cdot r^2 $$
$$  M=3 \, π \cdot r^2 $$
$$  \frac{M}{3 \, π}=  r^2 $$
$$  r = \sqrt{\frac{M}{3 \, π}} $$

Answer 2

Ich habe zuerst die allgemeine Lösung für eine
beliebige O(berfläche ) bestimmt.

 

Die Umstellerei ging wahrscheinlich einfacher.

r = √ ( O / ( 3 * π ) )
r =  √ ( 2 / ( 3 * π ) )
r  = 0.46 m

mfg Georg