Extremalprobleme, Dreieck unter Parabel

Question

Aufgabe:

Halloo ich komme bei meiner Nebenfunktion nicht weiter und bräuchte in diesem Fall bitte Hilfe :)

Die Frage lautet:

Der Punkt (b/f(b)) liegt auf dem Graphen der Funktion f mit f(x) = - x²+4.

Wie ist b zu wählen, damit das Dreieck ABC mit A(-2/0) und C(b/c) einen maximalen Flächeninhalt hat?

Problem/Ansatz:

Meine Zielfunktion ist : A=½*g*h

Meine Skizze seht ihr hier :) 

Text erkannt:

\( \frac{(-210) A]{-3}}{\frac{1}{-3}} \)

Answer 1

Maximiere Grundlinie mal Höhe, den konstanten Faktor kannst Du ignorieren.

Die Grundlinie ist x+2

Die Höhe ist f(x)

Comments

Vielen Dank für die Hilfe und ihnen auch noch einen schönen Tag :)

Answer 2

Hallo Sophia,

Willkommen in der Mathelounge!

Die Fläche \(A\) des Dreiecks ist \(A= \frac 12 gh\). Das \(g\) setzt sich hier aus \(b\) und \(2\) zusammen. Deine Zeichnung ist an der Stelle nicht ganz richtig! Und das \(h\) ist der Funktionswert \(f(b)\). Folglich ist $$A = \frac 12 (2+b) \cdot f(b), \quad f(b) = -b^2 + 4$$kommst Du ansonsten zurecht? Sonst frage bitte noch mal nach.

Comments

Ohh Dankeschön :)

Das hat mir nur gefehlt wie man weiter rechnet weiß ich

Vieln Dank Werner-Salomon und schönen Tag ihnen noch :)

---

Gern geschehen! zur Kontrolle: \(b_{\text{opt}} = \frac 23\)

Answer 3

aus der Zeichnung

1) A=1/2*a*b

2) b=f(x)=-1*x²+4

3) a=x-(-2)=x+2

2) u. 3) in 1)

A(x)=1/2*(x+2)*(-1*x²+4)=(1/2*x+1)*(-1*x²+4)

A(x)=-1/2*x³-1*x²+2*x+4

nun die Extrema bestimmen,Kurvendiskussion durchführen

A´(x)=0=-3/2*x²-2*x+2  Nullstellen bei x1=-2  und x2=0,666..=2/3

nun prüfen,ob Maximum oder Minimum

A´´(x)=-6/2*x-2

A´´(2/3)=-6/2*2/3-2=-20<0 also ein Maximum

A´´(-2)=-6/2*(-2)-2=6-2=4>0 also ein Minimum

~plot~-1/2*x^3-x^2+2*x+4;[[-3|5|-5|5]];x=2/3~plot~