Trigonometrische Zusammenhänge im Allgemeinen

Question

Ich wende mich an euch mit der Frage nach den trigonometrischen Zusammenhängen.

Als Beispiel nenne ich mal sin(2x)=2sin(x)-cos(x).

Oft habe ich das Problem, dass ich Solche Aufgaben lösen muss (im Bogenmaß) und diese Zusammenhänge nicht kenne. Ich kann dann zwar googlen, würde es aber lieber verstehen als es nur zu wissen!

Hat da jemand von euch eine Erklärung, wie diese Zusammenhänge zustande kommen?

,

Terbsen

Answer 1

Hi,
der Zusammenhang stimmt sowieso nicht. Da i.A. gilt $$ sin(x+y) = sin(x) \cdot cos(y) + cos(x) \cdot sin(y)  $$ folgt für \( x = y \)
$$ sin(2x) = 2\cdot sin(x)\cdot cos(x)  $$

Comments

Hey!

Korrektur: Es sollte ...*cos(x) lauten und nicht ...-cos(x)

Danke schonmal für deine Antwort.

Was mich jedoch vor die Frage stellt, wie würde ich dann z.B. cos²(x²) "umstellen"? Gibt es da allgemeine Regeln bzw. ein logisches Schema, nach dem ich da rechne? Habe mal eine Internetseite mit gefühlten 4379439 Umrechnungen gefunden, aber es muss doch durch eine Herleitung oder durch bestehende Gesetze gehen?

Genommen aus Folgender Aufgabe:

cos²(x²) = 2cos(x²)

:)

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Auch diese Gleichung stimmt nicht. Mit \( \alpha = x^2 \)  müsste ja folgendes gelten

$$ cos^2(\alpha) = 2 cos(\alpha)  $$ was nicht stimmt siehe das folgende Bild.

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Ne das ist eine Klausuraufgabe, die es zu lösen gilt.

Wie würde ich da an cos²(x²) = 2cos(x²) herangehen?

Also Gleichung = Null setzen und dann Nullstellen herausfinden ist klar, aber wie würde ich die Gleichung in diesem Fall null setzen?

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$$  cos^2(x^2) = 2 cos(x^2) $$ ist äquivalent zu $$ cos(x^2) (cos(x^2) - 2) = 0 $$

Da \( cos(x^2) - 2 \ne 0 \) für alle \( x \) gilt, muss also \( cos(x^2) = 0 \) gelten. Die Nullstellen der Cosinus Funktion sind \(  \alpha_k = \frac{\pi}{2}+k\pi \), also muss gelten

$$ x_k = \sqrt{\frac{\pi + 2k\pi}{2}} $$

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danke für die Lösung mit Erklärung!

Also wäre die Gleichung vor dem Ausklammern cos²(x²)-2cos(x²) = 0 ?

Damit wäre meine Frage vorerst geklärt :)