Vollständiges Differential, Bestimmung von Funktionen.

Question

Aufgabe:

Gegeben sei \( Q(x,y) = \frac{3}{4}x^4 + cos y \).

Finden Sie P(x,y), sodass P(x,y) dx + Q(x,y) dy ein vollständiges Differenzial einer Funktion F(x,y) ist. Bestimmen Sie diese Funktion F(x,y).

Answer 1

Hi,
das vollständige Differential einer Funktion \( F(x,y) \) lautet
$$ dF(x,y) = \frac{\partial}{\partial x}F(x,y) \text{dx} +  \frac{\partial}{\partial y}F(x,y) \text{dy} $$
Es soll \( P(x,y) \text{dx} + Q(x,y) \text{dy} \) das vollständige Differential der Funktion \( F(x,y) \) sein. Also muss gelten
$$ \frac{\partial}{\partial x}F(x,y) = P(x,y) $$ und
$$ \frac{\partial}{\partial y}F(x,y) = Q(x,y) = \frac{3}{4}x^4 + cos(y) $$ gelten. Außerdem muss \( \frac{\partial}{\partial y}P(x,y) = \frac{\partial}{\partial x}Q(x,y) = 3x^3  \) gelten.
Daraus folgt $$ \frac{\partial}{\partial x}F(x,y) = P(x,y) = 3x^3y + f(x) $$ mit einer beliebigen differenzierbaren Funktion \( f(x) \) und daraus folgt
$$  F(x,y) = \frac{3}{4}x^4 y + g(x)+h(y) $$ mit \( g'(x) = f(x) \) und einer beliebigen differenzierbaren Funktion \( h(y) \)
Daraus folgt
$$ \frac{\partial}{\partial y}F(x,y) = \frac{3}{4}x^4 + h'(y) = \frac{3}{4}x^4 + cos(y)  $$
Also gilt \( h(y) = sin(y)  \)
Damit hat die Funktion \( F(x,y) \) folgendes Aussehen
$$  F(x,y) = \frac{3}{4}x^4 y + g(x)+ sin(y) $$

Answer 2

Vorschlag:

Zuerst \( F(x,y) \) bestimmen, so dass \( \frac{\partial F}{\partial y} = Q(x,y) \). Dann \( P(x,y) = \frac{\partial F}{\partial x} \) bestimmen.

Gruß