Differential einer Funktion berechnen

Question

Guten Tag liebe Community,

Folgendes Problem: Gegeben ist die Funktion:

y = f(x) = 4x²  sowie die Werte x₁ = 1 und x₂ = 5

Zu berechnen sei:

Δx, Δy und (Δx/Δy)

Erst kurz eine Verständnisfrage: "Δx" oder "Δy" meint die Änderung in x oder y, richtig? Das Komische daran ist, dass in meinen Theorieunterlagen "dx" ebenfalls als Änderung im Wert von x angegeben wird - es somit also mit "Δx" gleichzustellen ist. Das Problem daran: dy und "Δy" sind dann wieder nicht das gleiche...

Ansonsten würde ich jetzt jeweils x₁ und x₂ durch f(x) berechnen und dann subtrahieren, womit ich m.M. nach dann Δx erhalte, korrekt? Nun bin ich da beim Eingangs erwähnten Problem, weiterrechnen müsste ich dann mit dx, was ich ja dann nicht hätte, wenn dx nicht gleich Δx ist.

Answer 1

es gilt Δx=x₂-x₁ und Δy=y₂-y₁ 

Das ist die Änderung der x bzw. y Koordinate.

---> Δx/Δy=(x₂-x₁)/(y₂-y₁) 

Mit Differentialen dx und dy brauchst du hier gar nicht rechnen.

Das sind infinitesimale (sehr kleine) Änderungen von x bzw. y, aber die sind hier gar nicht gefragt.

 Δx/Δy=(x₂-x₁)/(y₂-y₁) =4/(100-4)=4/96=1/24

Answer 2

Der Limes von Δx = x₂-x₁ für x₂→x₁ wird dx genannt. dx ist das Differential und Δx die Differenz.

Comments

Hallo Wolfgang, hast du das schon gelesen ?

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Der Limes von Δx = x₂-x₁ für x₂→x₁ ist = 0. (Per Definition.)

Für die Ableitung schreibt man zwar

$$ \frac {df}{dx} := \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac {\Delta f}{\Delta x} \equiv \lim_{h\rightarrow 0} \frac {f(x+h)-f(x)}{h},$$

und wenn man weiß, was man machen kann, lässt sich auch gut mit der Definition als "unendlich kleine Größe" rechnen. "Richtig" definiert man Differentiale dx^i aber als Linearformen auf einem Tangentialraum einer Mannigfaltigkeit, wo sie mit

$$ dx^i (\partial_j) = \delta ^i_j$$

eine Basis des entsprechenden Kotangentialraums ( = Dualraum des Tangentialraums ) bilden.

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Zugegeben: meine Formulierung war etwas naiv und mathematisch etwas bedenklich.