Unstetigkeit einer Funktion zeigen

Question

Ich soll die Unstetigkeit einer Funktion zeigen und zwar: f: R² -> R

$$ f(x,y) = \left\{ \begin{matrix} \frac { x^3·y }{ x^4 + y^4 + x^2 · y^2 } \text{ für } (x,y) \neq 0 \\ 0 \text{ für } (x,y) = 0 \end{matrix} \right\}  $$

Wie muss ich da vorgehen, wenn ich das Folgenkriterium benutzen möchte, denn ich habe x₀ ja gar nicht gegeben.

Denn ich müsste ja: lim(x→x₀) f(x) = f(x₀) für x → x₀

Was muss ich jetzt berechnen und wo reinstecken, bzw. was ist x0 bei mir? Ich soll das ja allgemein bestimmen, deswegen kann ich für x0 nicht irgendeine positive Zahl einsetzen.

Answer 1

Die Unstetigkeitsstelle kann ja nur (0;0)  sein; denn ansonsten ist es eine gebr.
Rat. Fkt. also überall stetig

Betrachte doch die Folge   a_n=  ( 1/n ; 1/n ) dann ist
f(a_n) =  1/n^3  /   3/n^4  =  n/3  und die geht für n gegen unendlich gegen
unendlich und nicht gegen 0;
aber f(0/0) = 0
Also unstetig bei (0;0)

Comments

Ich komme auf \(f(a_n)=\frac{1}{3}\) (was aber nichts daran ändert, dass damit die Unstetigkeit gezeigt ist).