Unstetigkeit der Funktion f_a nachweisen

Question

Aufgabe:

Sei a eine reelle Zahl und sei f_a eine Funktion von R nach R, wie folgt definiert:

x -> x -a (falls x < 2) | x + a (sonst)

Es gilt das a zu bestimmen, für welches f_a stetig ist und weiterhin zu zeigen, dass f_a für jede andere Wahl von a nicht stetig ist.

Problem/Ansatz:

Mit a = 0 ist f_a stetig, da f_a(x) = x. Nun gilt es die Unstetigkeit mit Hilfe der Epsilon und Delta Umgebung zu zeigen.

Nach der Definition der Stetigkeit gilt es also ein epsilon zu wählen, so dass für alle delta > 0 gilt, dass ein x existiert,

so dass wenn 0 < |x - 2| < delta => |f_a(x) - 2 - a| > epsilon.

Ich weiß, dass ich x in abhängigkeit von Delta wählen muss und am besten einen Fall erreiche, in dem x < 2.

Dies ist beispielsweise der Fall, wenn x = 2 - \delta/2. Nun bin ich mir jedoch nicht sicher, wie ich epsilon am besten wähle.

Ich wäre über Hilfe sehr dankbar!

Answer 1

Hallo

du gibst ein beliebiges epsilon vor z.B. a/10 und zeigst, dass es dazu kein delta gibt.

Musst du das so machen? du kannst doch einfach \( \lim\limits_{x\to2_-} f(x)\)=2-a≠

\( \lim\limits_{x\to2_+}f(x) \)=2+a

Gruß lul

Comments

Leider ist gefordert, dass ich den Beweis mit Hilfe von Epsilon und Delta führe.

Ich habe zuerst folgenden Ansatz gehabt:
In unserem Fall betrachten wir die Stelle x = 2. Nehmen wir an, dass es ein solches δ gibt, das für alle x mit |x-2| < δ gilt, dass |f_a(x) - f_a(2)| < ε.
Wenn x < 2, dann ist
|f_a(x) - f_a(2)| = |x - a - 2 - a| = |x - 2 - 2a|,
und wenn x ≥ 2, dann ist
|f_a(x) - f_a(2)| = |x + a - 2 - a| = |x - 2|.

Es ist zu sehen, dass |f_a(x) - f_a(2)| bei x < 2 und x ≥ 2 unterschiedliche Werte annimmt. Da a ≠ 0, werden diese Ausdrücke für x < 2 und x ≥ 2 nicht gleichzeitig kleiner als ε sein, unabhängig von der Wahl von δ.

Nun bin ich mir jedoch nicht sicher, ob das ganze so formal ist und ob man nicht lieber ein festes Epsilon und ein festes x wählen sollte...

Danke dir für deinen Kommentar!

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wähle ε=a oder a/2

f(2)=x+a, f(2-δ)=x-a

deshalb |f(2)-f(2-δ|=2a unabhängig von δ  d.h man kann mit keinem δ epsilon erreichen. d.h. fa ist bei x=2 unstetig für a≠0  (und nur bei x=2, sonst überall stetig)

lul

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ich weiß nicht, ob ich gerade verwirrt bin, aber ist |f(2-δ) - f(2)| nicht gleich |-δ - 2a| und damit das ganze nicht unabhängig von δ?

nachtrag: dann sollte ja aber gelten, dass |-δ -2a| größer als |a|