Beweisen Sie mit ϵ und δ, dass f nicht stetig in 1 ist. f(x):=1/(1-x) falls x≠1 , f(1):=a

Question

Stecke bei Aufgabenteil b) total fest. Wenn ich den Graphen zeichne ist es offensichtlich, dass es einen Sprung gibt, allerdings schaffe ich es einfach nicht, ein vernünftiges x zu finden, so dass gilt:

|x-1|<δ und

|1/(1-x)-2|>=ϵ

Dachte daran für x=(δ/2)+1 zu wählen, komm dann aber bei der zweiten Ungleichung nicht weiter.

ϵ sollte in diesem Fall doch beliebig groß werden können, da beide Kurven bei x0 nach jeweils  +unendlich und -unendlich streben?

Beweisen Sie mit ϵ und δ, dass f nicht stetig in 1 ist. f(x):=1/(1-x) falls x≠1 , f(1):=a

Comments

Ich komme bei der Aufgabe leider gar nicht weiter... ich hoffe dass mir hier jemand helfen kann.

lg

Answer 1

Verwende die Regel \(|a\pm b|\ge|a|-|b|\). Das fuehrt dann auf $$\left|\frac{1}{1-x}-2\right|\ge\frac{1}{|x-1|}-2>1\quad\text{fuer $|x-1|<\frac{1}{3}$.}$$

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Ich habe eine Frage zur Antwort auf https://www.mathelounge.de/448293/beweisen-sie-mit-und-dass-nicht-stetig-in-1-ist-1-x-falls-x%E2%89%A01-f-1 bzw. https://www.mathelounge.de/448293/ also zur Frage Nr. 448293:

Man muss doch zeigen, dass es für alle δ>0 ein ε>0 und ein x ∈ IR gibt mit  |x-1| < δ  und | f(x) - f(1)  | ≥ ε

Ich bin in diesem Thema ziemlich neu, aber meiner Meinung nach wurde nicht gezeigt, dass obiges für alle  δ>0 gilt und falls doch, sehe ich es nicht.
Bitte um Erklärung!

MfG

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EDIT: Bitte Nachfragen zu vorhandenen Fragen immer dort stellen.

Da du noch nicht registriert bist, versuche ich mal deine Nachfrage dorthin umzuleiten.

EDIT: Sollte funktioniert haben und nun hoffentlich bei der Antwort gelandet sein, die du noch besser verstehen möchtest. ;)

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Zu der Nachfrage: Korrekt ist die Formulierung "Es existiert ein \(\epsilon>0\), so dass es für alle \(\delta>0\) Stellen \(x\) mit \(|x-1|<\delta\) im Definitionsbereich gibt, an denen \(|f(x)-2|\ge\epsilon\) ist."

Fuer das \(\epsilon\), das es geben soll, hab ich \(\epsilon=1\) ("Ausnahmeepsilon") genommen. Jetzt gib doch Du mal ein \(\delta>0\) an mit \((1-\delta,1+\delta)\setminus\{1\}\cap(\frac{2}{3},\frac{4}{3})\setminus\{1\}=\emptyset\).

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Ich befürchte, dass man das allgemein mit a machen soll.

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Na und? Wer aus der Lösung für a=1 nicht die allgemeine selber zusammenbekommt, hat eh nichts gelernt.

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...... a=2 ......