1. Partielle Ableitungen
Die Funktion $$ f(x,y) = (x^2+y^2) \sin \left( \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} \right) $$ ist von der Form $$ g(r) = r^2 \sin\left( \frac{1}{r}\right) $$ und für diese Funktion gilt $$ \lim_{r \to 0 } g(r) = 0 $$ Die partiellen Ableitungen sind die Richtungsableitungen bzgl. der kanonischen Basis. D.h. es muss für die partielle Ableitung nach \( x \) folgendes berechnet werden. $$ \frac{ \partial f(0,0) }{ \partial x } = \lim_{h \to 0} \frac{ f(0+h,0) - f(0,0) }{h} = \lim_{h \to 0 } \frac{ h^2 \sin \left( \frac{1}{h} \right) }{h} = \lim_{ h \to 0 }h \sin \left( \frac{1}{h} \right) = 0 $$
Das gleiche gilt für die partielle Ableitung nach \( y \). Also ex. die partiellen Ableitungen nach \( x \) und \( y \) und sind jeweils gleich \( 0 \), also gilt \( \nabla f(0,0) = 0 \)
2. Differenzierbarkeit
Die Funktion \( f(x,y) \) ist in \( (0,0) \) differenzierbar, wenn gilt $$ \lim_{ v \to 0 } \frac{ f(v_x,v_y) - f(0,0) - \left< \nabla f(0,0) , v \right> }{ \|v\|_2 } = 0 $$ für alle \( v \in \mathbb{R^2} \). Jetzt gilt aber $$ \lim_{ v \to 0 } \frac{ f(v_x,v_y) - f(0,0) - < \nabla f(0,0) , v> }{ \|v\|_2 } = \lim_{ v \to 0 } \frac{ (v_x^2+v_y^2) \sin\left( \frac{1}{\sqrt{v_x^2+v_y^2}} \right) }{\sqrt{v_x^2+v_y^2} } = 0 $$
Damit ist die Funktion total differenzierbar, also differenzierbar.
3. Unstetigkeit der partiellen Ableitungen
Die partielle Ableitung nach \( x \) ist $$ f_x(x,y) = 2 x \sin \left( \frac{1}{ \sqrt{x^2+y^2} } \right) - \frac{ x \cos \left( \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} \right)}{\sqrt{x^2+y^2}}$$
Nun ist $$ \lim_{x\to 0 } f_x(x,0) = \lim_{x \to 0} \left[ 2 x \sin \left( \frac{1}{x} \right) - \cos\left( \frac{1}{x} \right) \right] $$ Und dieser Grenzwert ex. nicht.
