f (x,y) Diffbarkeit nachweisen + Unstetigkeit der partiellen Ableitung

Question

Aufgabe:

f: R² -> R

f(x,y) = (x² + y²) * sin( 1/ sqrt(x²+y²))  für (x,y) =/= (0,0)

            0                                                    für (x,y) = 0

Zeigen Sie, dass f in (0,0) diffbar ist, aber alle partiellen Ableitungen unstetig sind.

Problem/Ansatz:

Diffbarkeit bei Funktionen in mehreren Variablen kann man ja mit der Jacobi Matrix und weiterer Argumentation über die Stetigkeit der einzelnen partiellen Ableitungen überprüfen. Jedoch sind in diesen partiellen Ableitungen soviele Komponenten die in (0,0) Probleme machen werden, dass ich keine Ahnung habe wo ich ansetzen soll.

Selbes gilt in Folge dann auch für die Unstetigkeiten.

Vielen Dank im Voraus!

Beste Grüße

Lex

Answer 1

1. Partielle Ableitungen

Die Funktion $$f(x,y) = (x^2+y^2) \sin \left( \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} \right)$$ ist von der Form $$g(r) = r^2 \sin\left( \frac{1}{r}\right)$$ und für diese Funktion gilt $$\lim_{r \to 0 } g(r) = 0$$ Die partiellen Ableitungen sind die Richtungsableitungen bzgl. der kanonischen Basis. D.h. es muss für die partielle Ableitung nach $x$ folgendes berechnet werden. $$\frac{ \partial f(0,0) }{ \partial x } = \lim_{h \to 0} \frac{ f(0+h,0) - f(0,0) }{h} = \lim_{h \to 0 } \frac{ h^2 \sin \left( \frac{1}{h} \right) }{h} = \lim_{ h \to 0 }h \sin \left( \frac{1}{h} \right) = 0$$

Das gleiche gilt für die partielle Ableitung nach $y$. Also ex. die partiellen Ableitungen nach $x$ und $y$ und sind jeweils gleich $0$, also gilt $\nabla f(0,0) = 0$

2. Differenzierbarkeit

Die Funktion $f(x,y)$ ist in $(0,0)$ differenzierbar, wenn gilt $$\lim_{ v \to 0 } \frac{ f(v_x,v_y) - f(0,0) - \left< \nabla f(0,0) , v \right> }{ \|v\|_2 } = 0$$ für alle $v \in \mathbb{R^2}$. Jetzt gilt aber $$\lim_{ v \to 0 } \frac{ f(v_x,v_y) - f(0,0) - < \nabla f(0,0) , v> }{ \|v\|_2 } = \lim_{ v \to 0 } \frac{ (v_x^2+v_y^2) \sin\left( \frac{1}{\sqrt{v_x^2+v_y^2}} \right) }{\sqrt{v_x^2+v_y^2} } = 0$$

Damit ist die Funktion total differenzierbar, also differenzierbar.

3. Unstetigkeit der partiellen Ableitungen

Die partielle Ableitung nach $x$ ist $$f_x(x,y) = 2 x \sin \left( \frac{1}{ \sqrt{x^2+y^2} } \right) - \frac{ x \cos \left( \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} \right)}{\sqrt{x^2+y^2}}$$

Nun ist $$\lim_{x\to 0 } f_x(x,0) = \lim_{x \to 0} \left[ 2 x \sin \left( \frac{1}{x} \right) - \cos\left( \frac{1}{x} \right) \right]$$ Und dieser Grenzwert ex. nicht.

Comments

Hallo Ullim!

Vielen Dank für die ausführliche Antwort!

1. Ist einleuchtend, aber da beziehe ich mich auf Vorwissen, dass sin(1/x) bzw. cos(1/x) gegen Null divergiert, aber xⁿ * (sin(1/x)) konvergiert. Sonst müsste ich dass mithilfe des Folgenkriteriums seperat nochmal verifizieren, wenn ich mich grade nicht täusche.

Bezüglich der Richtungsableitung:

Es reicht sich entlang der Verktoren der kanonischen Basis zu nähern? Ich dachte, dass der Vektor so unbefangen wie möglich sein muss, also ein v = (v1,v2).

Ich schätze, es existiert hier eine Argumentation, dass mithilfe der Vektoren (0,1) und (1,0) alle Vektoren v ∈ R² bilden lassen, und sie bereits als Basis unserer Betrachtung gelten?

2. Hier einige Verständnisfragen:

Falls die lineare Abbildung existiert, sodass diese Gleichung gleich Null ist, dann ist diese Abbildung der Gradient, richtig? Denn sonst hätte ich ja keine Möglichkeit die Matrix mir Zeiteffizient zu basteln. Aber ich hatte dann das Problem, dass ich die partiellen Ableitungen berechnet habe, den Gradienten fertig hatte, aber eben erst wieder die 0 nicht einsetzen durfte. Über die Hilsargumentation ad 1 wäre dann aber alles wieder klar.

3. Am Schluss wird wieder das zuvor erwähnte Wissen benötigt. Also scheitert der Grenzwert am cos(1/x). Korrekt?

Mit besten Grüßen

Lex

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Hi,

1. Zu dem Bewies das der Grenzwert von $\lim_{x\to 0} \sin\left( \frac{1}{x} \right)$ nicht ex. s. hier http://www.mathe.tu-freiberg.de/~tochten/gkhm/skript_Stetigkeit_Diff…

Richtungsableitung: Das hast Du falsch verstanden, die partiellen Ableitungen sind die Richtungsableitungen bzgl. der kanonischen Basis. So sind sie definiert. Aber es gibt natürlich beliebig viele andere Richtungsableitungen.

2. Genau, wenn die Ableitung Deiner Funktion ex., dann ist es der Gradient, weil die Ableitungen eindeutig sind.

3. Genau, weil der Grenzwert von $\lim_{x\to 0} \cos\left( \frac{1}{x} \right)$ nicht ex., existiert auch der gesamte Grenzwert nicht.

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ad 2. Eine Follow - Up Frage die sich jetzt beim Rechnen von Beispielen ergeben hat:

Der Gradient ist ja dann ebenso eindeutig. Also, damit dieser existiert muss bei der Richtungsableitung für e_{i (i ∈N)} dann ja für jedes i der gleiche Wert rauskommen.
Wenn für alle i jedoch ±∞ rauskommt, existiert er aber trotzdem nicht, da man ja keine unendlichen Steigung für die Annäherung aus mehreren Richtungen haben kann. Korrekt oder Fehlinterpretation?