Streng monoton steigend und fallend bei h(x) = e^{2x} - x -1.

Question

Aufgabe:

(2) Gegeben ist die Funktion \( h \) mit der Gleichung \( h(x)=\mathrm{e}^{2 x}-x-1, \quad x \in \mathbb{R} \).
Zeigen Sie, dass die Funktion \( h \) für \( x<-\ln (\sqrt{2}) \) streng monoton fallend und für \( x>-\ln (\sqrt{2}) \) streng monoton steigend ist.

(3) Begründen Sie, dass die Funktion \( h \) im Intervall \( ]-\infty,-\ln (\sqrt{2})] \) einen Vorzeichenwechsel besitzt.

Answer 1

(2)

streng monoton fallend <=> 1. Ableitung < 0

streng monoton steigend <=> 1. Ableitung > 0

(3)

Vorzeichenwechsel im Intervall <=> Nullstelle im intervall

Comments

Die erste Ableitung kann auch bei strenger Monotonie Nullstellen haben, z.B. bei \(x\mapsto x^3\).

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:) anscheinend gibt es da verschiedene Definitionen - wenn man x↦x³ als streng monoton steigend ansieht, dann:

streng monoton steigend <=>

          1. Ableitung ≥ 0 

      und 

1. Ableitung auf keinem echten Teilintervall konstant gleich null ist (wobei ein echtes Intervall ein Intervall mit mehr als einem Element ist)  Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Monotonie_%28Mathematik%29

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Es gibt nur eine Definition von streng monoton steigend, und zwar:
Eine Funktion \(f: A\to\mathbb{R}\) mit \(A\subseteq\mathbb{R}\) heißt streng motonon steigend, wenn für alle \(x,y\in A\) mit \(x<y\) gilt, dass \(f(x)<f(y)\).

Alles andere sind nur Folgerungen daraus. Das, was du geschrieben hast,  würde ja überhaupt nichts über die Monotonie von nicht differenzierbaren Funktionen aussagen.

Answer 2

Hi,
bilde die erste Ableitung und bestimme wo sie Null ist.

Comments

@ullim: Für Aufgabe (2) interessiert nicht, wo h'(x)=0 ist ...
LG M.

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die Funktion \( h \) ist streng monoton fallend, falls \( h' < 0 \)  gilt und streng monoton wachsend, falls \( h' > 0 \) gilt. Da \( h''(x) = 4e^{2x} > 0 \) für alle \( x \in \mathbb{R} \) gilt, ist \( h' \) streng monoton wachsend und da \( h' \) Werte größer und kleiner Null annimmt, kann man \( \mathbb{R} \) in zwei Bereiche aufteilen, für die gilt, auf dem einen Bereich ist die Funktion \( h \) streng monoton fallend und auf dem anderen ist sie streng monoton wachsend. Getrennt werden diese beiden Bereiche durch die Nullstelle von \( h' \). Insofern ist es schon richtig die Nullstelle von  \( h' \) zu berechnen.

Answer 3

h ( x ) = e^{2x} - x - 1
h ´( x ) = 2*e^{2x} - 1

Punkt mit waagerechter Tangente
2*e^{2x} - 1 = 0

2*e^{2x} = 1
e^{2x} = 1/2
e^{x}*e^{x} = 1/2 
e^{x} )^2 = 1/2  | √
e^{x} = √ ( 1/2  ) = √ 1 / √ 2 
e^{x} = 1 / √ 2   | ln ( )
x = ln ( 1 / √ 2 )
x = ln ( 1 ) - ln (√ 2 )  | ln(1) = 0
x = - ln (√ 2 )
( eine ziemliche Umformerei, vielleicht besser  )

2*e^{2x} = 1
e^{2x} = 1/2  | ln ( )
2x = ln ( 1 / 2 ) 
2x = ln (1 ) - ln ( 2 ) | ln ( 1 ) = 0
2x = - ln ( 2 )
x = 1/2 * - ln (2 )
x = - ln ( 2^{1/2} )
x = - ln ( √ 2 )

Monotonie > 0
2*e^{2x} - 1 > 0
2*e^{2x} > 1
e^{2x} > 1/2  | ln ( )
2x > ln ( 1 / 2 ) 
2x > ln (1 ) - ln ( 2 ) | ln ( 1 ) = 0
2x > - ln ( 2 )
x > 1/2 * - ln (2 )
x > - ln ( 2^{1/2} )
x > - ln ( √ 2 )

Die Funktion ist für   x > - ln ( √ 2 )  streng monoton steigend.

Bei Fragen wieder melden.

mfg Georg

Comments

Vorzeichenwechsel im Intervall -∞ und - ln ( √ 2 )

lim x −> -∞  [ e^2x - x - 1 ] = ( e^{2*-∞ --} - ( -∞ ) - 1 ) = ( 0 + ∞ - 1 ) =  + ∞

- ln ( √ 2 ) = -0.3466
h ( -0.3466  ) =   e^2*-0.3466- - (-0.3466) - 1
h ( x ) = 0.5 + 0.3466 - 1 = -0.1534

Der Graph verläuft im Intervall zwischen + ∞   und -0.1534 und
hat somit einen Vorzeichenwechsel.

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Muss ich bei zwei denn Nullstellen ausrechnen? Die sind doch in der Aufgabe schon gegeben?

Und muss man bei Monotonie immer so eine Ungleichung machen?

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Ich habe das mit der Monotonie grad durchgerechnet, aber ich verstehe ab der Zeile 2x>ln(1)-ln(2) nichts mehr. Wie kommt man von ln(1/2) auf ln(1)-ln(2)? Und wie kommt man dann von 1/2*-ln(2) auf -ln(2^1/2) und dann letztendlich auf -ln(sqrt(2))??

Würde mich hier noch mal auf eine Erklärung freuen! :-)

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Muss ich bei zwei denn Nullstellen ausrechnen?
Die sind doch in der Aufgabe schon gegeben?

Wenn ich die Monotonie nachweisen soll ( f ´( x ) > 0 bzw. f ´( x ) < 0 )
rechne ich meist zuerst f ´( x ) = 0 aus. Das ist mitunter einfacher unter
anderem weil es in einem Funktionsverlauf auch mehrfach wechselnde
Monotoniebereiche geben kann.

Wie kommt man von ln(1/2) auf ln(1)-ln(2)?

ln ( 1 * 2 ) = ln ( 1 ) + ln ( 2 )
ln ( 1 / 2 ) = ln ( 1 ) - ln ( 2 )

Und wie kommt man dann von 1/2*-ln(2) auf -ln(2^{1/2})

a * ln ( b ) = ln (b^a )

und dann letztendlich auf -ln(sqrt(2))?? 

2^{1/2 } = ²√ 2 = √ 2

a^{1/b} = ^b√ a

Alle Umformungen gehören zu den Standardrechnungen bei ln ( ).
Das sollte man  unbedingt wissen.

mfg Georg

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Danke habe es sofort notiert:

\( \begin{array}{ll}2) & 2 e^{2 x}-1 & <0 \\ 2 e^{2 x} & <1 \mid: 2 \\ e^{2 x} & <\frac{1}{2} \mid \ln \left(\frac{1}{2}\right) \\ 2 x & <\ln \left(\frac{1}{2}\right) \\ 2 x & <\ln (1)-\ln (2) \\ 2 x & <-\ln (2) \cdot \frac{1}{2} \\ x & <-\ln \left(2 \frac{1}{2}\right) \\ x & <-\ln (\sqrt{2})\end{array} \)

Ich habe diese Ungleichung auch für streng monoton fallend gemacht und es kommt das gleiche. Also allgemein kann man diese < > einfach als gleichzeichen sehen? Weil ja sowieso das gleiche rauskommt, gibt es also keinen unterschied. Oder?

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Die Umformungen hast du jetzt gut drauf.

Zu Gleichungen / Ungleichungen :

Beide haben vieles gemeinsam.
Es gibt aber auch Unterschiede.

Multiplikation mit einem negativem Wert

4 = 3 * 1  | * -4
-16 = - 16

4 > 3  | * -4
-16 > -12 
Dies ist falsch. Bei Multiplikation / Divisionen mit einem negativem
Wert muß das Ungleicheitszeichen umgedreht werden
4 > 3  | * -4
-16 < -12 

Wurzelziehen

( x - 4 )^2 = 1  | √
x - 4 = ± 1
x = + 5
x = + 3

( x - 4 )^2 > 1  | √
x - 4 > + 1
x > 5
x - 4 < - 1
x < 3

( x - 4 )^2 < 1  | √
x - 4 < + 1
x < 5
x - 4 > - 1
x > 3
3 < x < 5

Bei Interesse zeichne die Lösungen einmal in einen
Zahlenstrahl ein.


Bei Ungleichungen gibt es also mehr zu beachten und es entstehen
mitunter mehr Fehler.

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Danke das mit der multiplikation und division habe ich kapiert aber das mit dem Wurzelziehen nicht wirklich. Bin da etwas verwirrt wegen den ganzen zeichen ..

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Kann ich verstehen.

Ich wiederhole mich : Gleichungen sind mitunter leichter zu lösen
als Ungleichungen.

Falls ich dir noch weiter behilflich sein soll müsstest du schon konkret
sagen welche Zeile oder welchen Sachverhalt du nicht verstehst.

Answer 4

h ( x ) = e^2x - x - 1 
h ´( x ) = 2*e^2x - 1 

Monoton steigend für 

 2*e^2x - 1 > 0 e^{2x} > 1/2         |ln
 
 2x > ln(1/2)

  x > 1/2 * ln(1/2)  = ln( (1/2)^{1/2}) = ln(1/√2) = ln(1) - ln(√2) = 0-ln(√2) = - ln(√2)  q.e.d. 1. Teil. 

Monoton fallend für 

h ´( x ) = 2*e^2x - 1 < 0
e^{2x} < 1/2         |ln
  2x <  ln(1/2)

  x <  1/2 * ln(1/2)  = ln( (1/2)^{1/2}) = ln(1/√2) = ln(1) - ln(√2) = 0-ln(√2) = - ln(√2)  q.e.d. 2. Teil.Logarithmengesetze repetieren: https://www.matheretter.de/wiki/logarithmus