Determinante elementare Umformung

Question

Habe schon rumgegoogelt, verstehe aber leider nicht ganz, was mit der elementaren Zeilenumformung gemeint ist! Ich soll eine 4x4 zu einer 3x3 Matrix durch diese Umformung reduzieren!

1 2 3 4

4 1 2 3

3 4 1 2

2 3 4 1 

Das wäre die gegebene Matrix. Entwickeln nach der zweiten Spalte und dem Element a32 (rot).

Laplace und Sarrus sind bei mir bekannt, Frage mich nur, was die elementare Zeilenumformung ist!

, Terbsen

Comments

Dies wäre mein (nicht vollständiger) Lösungsweg! Ist das die "elementare Umformung"?

Answer 1

Hi,
elementare Zeilenumformungen sind Umformungen der Art, dass man zu einer beliebigen Zeile ein vielfaches einer anderen Spalte hinzu addieren kann ohne den Wert der Determinate zu ändern. Mit diesen Umformungen kann man z.B. eine Matrix auf Dreiecksform bringen aber nicht die Dimension der Matrix reduzieren, also von z.B. \( 4 \times 4 \) auf \( 3 \times 3 \)
Man kann auch nicht den Wert einer Determinate durch Entwicklung nach einem einzigen Matrixelement bestimmen, sondern man muss nach der ganzen Spalte entwicklen.

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Okay, ich versuch mir das mal über das Skript anzueignen. Ich kann damit aber nicht reduzieren?
Denn eine Klausurfrage lautete wie folgt:
Reduzieren Sie die 4-reihige Determinante in eine dreireihige Determinante durch elementare Umformung. (7P.)
Wie wäre hier die grobe Vorgehensweise? Normalerweise ja Laplace und dann die Unterdeterminanten auch nochmal mit Laplace oder Sarrus lösen! Denke ich bin da grad etwas durcheinander! 

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Also meiner Meinung nach kann das nur so gehen, dass Du durch Zeilenumformungen die Matrix so umformst, dass Du eine Zeile mit nur einem Element ungleich Null erzeugst. Nach dieser Zeile entwickelst Du dann, dann hat man das Problem auf die Berechnung einer \( 3 \times 3 \) Determinante reduziert.

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Ich bin wohl noch nicht tief genug in der Thematik, um die Vorgehensweise zu verstehen! Hast du/habt ihr für so einen Fall ein gutes Youtube-Video, welches ihr empfehlen könnt? Zu der Thematik werde ich da leider nicht fündig!

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Bin nun auf den Gauß-Algorithmus gekommen! Damit müsste es doch gehen, oder?

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Bin nun auf den Gauß-Algorithmus gekommen! Damit müsste es doch gehen, oder?

Hi, darauf wird die Aufgabe wohl hinauslaufen.

https://de.wikipedia.org/wiki/Determinante#Gau.C3.9Fsches_Eliminationsverfahren_zur_Determinantenberechnung

Die elementaren Zeilen- oder Spaltenumformungen, die erwähnt wurden, werden in dem verlinkten Abswchnitt in den letzten drei Spiegelpunkten aufgeführt. Dabei muss beachtet werden, wie sich jeweils die Determinante ändert. Damit lässt sich dann eine Reihe (Zeile oder Spalte) bis auf ein verbleibendes Element leeren. Wird dann nach dieser so geleerten Reihe entwickelt, entsteht ein Vielfaches einer Determinante mit einer Reihe weniger und demselben Wert wie die ursprüngliche Determinante.

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Ist in den Lesezeichen gespeichert und schaue ich mir später mit etwas mehr Ruhe an!