Elementare Umformung nachvollziehen

Question

Aufgabe:

Folgende Aufgabe ist gegeben:

\( \frac{x^2 - x -12}{ x + 3} \) 

Nach elementarer Umformung soll der Grenzwert für x gegen -3 berechnet werden.

Problem/Ansatz:

Mein Problem ist, nachdem ich mir den Lösungsweg angesehen habe, ich nicht verstehe nach welcher Formel / Regel hier im Zähler umgeformt worden ist. Ich hätte zunächst auf quadratische Umformung getippt wenn überhaupt. Und das ist ja auch keine binomische Formel wenn ich mich nicht irre. Ich möchte nur nachvollziehen wie hier vorgegangen wurde. Oder kann man nur in diesem speziellen fall so umformen?

In meiner Lösung wird aus dem Zähler nach dem ersten Schritt

\( \frac{(x-4)(x+3)}{ x + 3} \)

Vielen dank für eure Zeit.

Answer 1

Nach dem Satz von Vieta folgt

x^2 - x - 12 = (x + 3)·(x - 4)

weil 3 * (-4) = -12 und 3 + (-4) = -1

Du könntest aber auch die Faktorisierung über die Nullstellen machen

x = - p/2 ± √((p/2)^2 - q) --> x = 4 ∨ x = -3

und damit

x^2 - x - 12 = (x - 4)·(x + 3)

Comments

Vielen lieben Dank!

Answer 2

Wenn du den Zähler wieder ausmultiplizierst, dann worst du sehen, dass wieder x² - x + 12 entsteht. Du kannst also leicht nachvollziehzen, dass die Umformung korrekt ist.

Um selber auf diese Umformung zu kommen, löse die quadratische Gleichung

         x² - x + 12 = 0

Lösungen sind -3 und 4.

Weil auch die quadratische Gleichung

        (x - 4)(x - (-3)) = 0

diese Lösungen hat, und die Parabeln von f(x) = x² - x + 12 und g(x) = (x - 4)(x - (-3)) den gleichen Strektfaktor haben, sind die Terme x² - x + 12 und (x - 4)(x - (-3)) äquivalent.

    

Comments

Vielen lieben Dank für das ausführliche erklären!