Also geht es um die Stetigkeit von \(f:\R \setminus \{1\}\to \R, f(x):=(x-1)^{-2}\). Wir untersuchen die Stetigkeit in einem Punkt, sagen wir, z aus dem Definitionsbereich. Dann müssen wir uns um folgende Differenz kümmern:
$$f(z)-f(x)=\frac{(x-1)^2-(z-1)^2}{(z-1)^2(x-1)^2}=\frac{(x-z)(x-1+z-1)}{(z-1)^2(x-1)^2}$$
$$=\frac{x-z}{(z-1)^2(x-1)} + \frac{x-z}{(z-1)(x-1)^2}$$
Wenn wir eine Abschätzung \(|z-x|<\delta\) zu Verfügung haben, gilt
$$|x-1|=|(x-z)+(z-1)| \geq |z-1|-\delta$$
Und wenn wir noch verlangen, dass \(\delta<0.5|z -1|\), dann auch
$$|x-1|=|(x-z)+(z-1)| \geq |z-1|-\delta>0.5|z-1|$$
Sie jetzt \(\epsilon>0\) gegeben, wir wählne
$$\delta:=\min\{0.5|z-1|,\frac{1}{6}\epsilon |z-1|^3\}$$
Dann gilt für \(|z-x|<\delta\) mit den obigen Überlegungen:
$$|f(z)-f(x)| \leq \left|\frac{x-z}{(z-1)^2(x-1)}\right| +\left| \frac{x-z}{(z-1)(x-1)^2}\right| \leq \frac{\delta}{0.5|z-1|^3}+ \frac{\delta}{0.25|z-1|^3} \leq \epsilon$$
