Beweise, dass für Potenzmengen gilt: P( A n B) = P(A) n P(B)

Question

Hi also folgendes Problem habe ich:

Für zwei Mengen A und B beweisen Sie:

(a) Es gilt P ( A n B) = P(A) n P(B)

P = Potenzmenge

n= schnitt

 

Wäre das P nicht da könnte ich es beweisen aber die Potenzmenge macht mich dabei fertig

Wäre super wenn ihr helfen könnten :)

Answer 1

Sei  A  eine Menge. Bezeichne die Potenzmenge, d.h. die Menge aller Teilmengen von  A, mit  P(A).

Behauptung: Für alle Mengen  A  und  B  gilt  P(A ∩ B) = P(A) ∩ P(B).

Zu zeigen ist zweierlei:
(1)  P(A ∩ B) ⊆ P(A) ∩ P(B)
sowie
(2)  P(A) ∩ P(B) ⊆ P(A ∩ B).
Aus (1) und (2) folgt die Behauptung.

Zu (1). Sei  x ∈ P(A ∩ B).
Zu zeigen ist  x ∈ P(A) ∩ P(B).

Nach Voraussetzung für  x  und Definition der Potenzmenge gilt  x ⊆ A ∩ B.
Daher ist nach Definition der Schnittmenge  x ⊆ A ∧ x ⊆ B.
Also ist  x ∈ P(A) ∧ x ∈ P(B).
D.h.  x ∈ P(A) ∩ P(B).
Daraus folgt (1).

Zu (2). Sei  y ∈ P(A) ∩ P(B).
Zu zeigen ist  y ∈ P(A ∩ B).

Nach Voraussetzung für  y  und Definition der Schnittmenge gilt  y ∈ P(A) ∧ y ∈ P(B).
Daher ist nach Definition der Potenzmenge  y ⊆ A ∧ y ⊆ B.
Also ist  y ⊆ A ∩ B.
D.h.  y ∈ P(A ∩ B).
Daraus folgt (2).

Comments

Man kann diesen Beweis auf die Boolesche Operation zurückführen. A∩B := {x ∈ A UND x ∈ B}