Potenzmengen vereinigen und schneiden

Question

Für eine Menge \( \mathrm{C} \text { sei } \mathcal{P}(\mathrm{C}) \text { die Menge aller Teilmengen von } \mathrm{C} \text { (die Potenzmenge von } \mathrm{C}) . \) Zeigen Sie für zwei Mengen A und B:

a) \( \mathcal{P}(\mathrm{A}) \cap \mathcal{P}(\mathrm{B})=\mathcal{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B}) \)

b) \( \mathcal{P}(\mathrm{A}) \cup \mathcal{P}(\mathrm{B}) \subseteq \mathcal{P}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B}) \)
Wann genau gilt in b) Gleichheit?

Kann ich das mit einem Beispiel verdeutlichen?

Comments

Na ja. Ein Beispiel ist kein Beweis. Aber du kannst  dir bei b) anhand von einem Beispiel erklären, dass für Gleichheit eine der beiden Mengen vollständig in der andern liegen muss.

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Eine Antwort von a) ist bereits hier vorhanden: https://www.mathelounge.de/21165/beweise-dass-fur-potenzmengen-gilt-p-a-n-b-p-a-n-p-b

Answer 1

Beachte: Die Elemente X einer Potenzmenge sind Mengen!

zu a)

X ∈ ( P ( A ) ∩ P ( B ) )

[Die Menge X ist genau dann ein Element der Schnittmenge der Potenzmengen von A und B, wenn X sowohl in der Potenzmenge von A als auch in der Potenzmenge von B enthalten ist, also:]

<=> X ∈ P ( A )  ∧ X ∈ P ( B )

[X ist genau dann Element der Potenzmengen von A und B, wenn alle x ∈ X sowohl Elemente von A als auch Elemente von B sind, also:]

<=> ∀_{x ∈ X}   x ∈ A ∧ x ∈ B  

[Genau dann aber sind alle x ∈ X auch Elemente der Schnittmenge von A und B, also:]

<=> ∀ _{x ∈ X}  x ∈ A ∩ B  

[und genau dann ist X auch Element der Potenzmenge der Schnittmenge von A und B, also:]

<=> X ∈ P ( A ∩ B )

q.e.d.

 

zu b)

Behauptung: P ( A) ∪ P ( B ) ⊆ P ( A ∪ B )

Widerspruchsbeweis:

Annahme: P ( A ) ∪ P ( B ) ⊃ P ( A ∪ B )

dann muss es ein T ∈  P ( A ) ∪ P ( B ) geben, das nicht Element der Potenzmenge der Vereinigungsmenge von A und B ist, für das also gilt:

¬ ( T ∈ P ( A ∪ B ) )

Das ist genau dann der Fall, wenn nicht gilt, dass alle Elemente t von T auch Elemente der Vereinigungsmenge von A und B sind, also:],

<=> ¬ ( ∀ _{t ∈ T}  t ∈ ( A ∪ B ) )

Das wiederum ist genau dann der Fall, wenn nicht gilt, dass alle Elemente t von T auch Elemente von A oder Elemente von B sind, also:]

<=>  ¬ ( ∀ _{t ∈ T}  t ∈ A  ∨ t ∈ B )

Genau dann aber gilt auch nicht, dass T ein Element der Potenzmenge von A oder ein Element der Potenzmenge von B ist, also:

<=> ¬ ( T ∈ P ( A ) ∨ T ∈ P ( B ) )

[Daraus ergibt sich nach deMorgan:]

<=>  ¬ ( T ∈ P ( A ) )  ∧ ¬ ( T ∈ P ( B ) )

[und das ist genau dann der Fall, wenn nicht gilt, dass T ein Element aus der Vereinigungsmenge der Potenzmengen von A und B ist, also:]

<=>  ¬ ( T ∈ P ( A ) ∪ P ( B ) )

Aus der Annahme folgt also, dass es ein X ∈  P ( A ) ∪ P ( B ) gibt, für das gilt:  ¬ ( X ∈ P ( A ) ∪ P ( B ) ).  Das ist ein Widerspruch, somit ist die Annahme falsch und ihre logische Negation, nämlich die Behauptung, wahr.

Comments

Zu b)  Warum ist denn die Annahme  P ( A ) ∪ P ( B ) ⊃ P ( A ∪ B )  die logische Negation
der Behauptung  P ( A) ∪ P ( B ) ⊆ P ( A ∪ B )  ?