Mehr als eine Lösung für a * (a+2015) = b * (b+1) möglich?

Question

Für a = 15 und b =174 passt die obige Gleichung. (Ergebnis jeweils 30450).

Ist das die einzig mögliche Lösung? Falls ja, warum, falls nein, wie erhalte ich die anderen Zahlenpaare?

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Zeig mal deinen Rechenweg, dann können wir beurteilen ob durch Wurzelziehen beispielsweise, weiter Werte für a und b entstehen können.

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bj513 war vor ein paar Tagen auf der Suche nach positiven (?) ganzzahligen Lösungen und hat nun offenbar eine gefunden. EDIT: Ich ergänze den Tag 'diphantisch'. 

Answer 1

Hi, es ist sicher klar, dass es jede Menge reelle Lösungen geben wird. Es ist auch offensichtlich, dass es weitere ganzzahlige Lösungen gibt, wähle etwa \(a=b=0\). Weniger offensichtlich ist, dass es über zwanzig positive, ganzzahlige Lösungen gibt, etwa \(a = 295\text{ und }b = 825\), und darunter auch eine mit kleineren Zahlen als Deine Lösung.

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Mehr zum Thema "quadratische diophantische Gleichungen" findest Du hier:

http://www.alpertron.com.ar/METHODS.HTM

Darin auch die beiden Rechner

http://www.alpertron.com.ar/QUAD.HTM (JavaSkript) und

http://www.alpertron.com.ar/JQUAD.HTM (Java).

Answer 2

Jedenfalls liegen quadratische Gleichungen vor und da kann man schon davon ausgehen, dass mehr als eine Lösung vorkommen könnte.

$$a^2+2015a = b^2+b$$

einfach mal Normalform nach a bzw. b herstellen und pq-mässig lösen ...

Comments

Ich erhalte:

a = √(b² + b - 2015a)

und

b = √( a² + 2015a -b)

Leider komme ich jetzt nicht weiter.

Was bedeutet "pq-mässig"?

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pq-Formel ist doch die Lösungsformel für quadratische Gleichungen,

hier also p=2015 und q = ( - b^2 - b) wenn du a ausrechnen willst:

a = -2015/2  ± wurzel (   (2015/2)^2 + b^2 + b )

vielleicht kommst du damit weiter

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Jetzt weiß ich wenigstens, was die "pq".Formel ist.

Allerdings komme ich mit der Berechnung der Gleichung nicht weiter, weil innerhalb der Wurzel "b² + b" vorkommt.
Wie geht es da denn weiter?

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Je nach Wert von b ist das in der Wurzel eine Quadratzahl oder nicht.

Form doch mal ein wenig um:

(2015/2)² + b² + b

=(4b^2 +4b + 4060225) / 4

= (4b^2 +4b + 1 + 4060224) / 4

= (2b+1)^2 / 4 +  1015056

Und diese Summe muss eine Quadratzahl sein.

Das erinnert mich an pythagoräische Zahlen.

Google doch mal was rum.

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Also gilt:

a = 2015/2 ± √ ((2b+1)²/4 + 1015056)

Soweit kann ich folgen, auch wenn ich oben nicht auf die Multiplikation und Division durch 4 gekommen wäre.

Pythagoräische Zahlen sind doch natürliche Zahlen, die als Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks vorkommen können. Leider hilft mir das auch nicht auf die Sprünge.

Gibt es eigentlich eine größte mögliche Zahl für a und b?