Warum ist keine Lösung mit größeren natürlichen Zahlen möglich? a^2 +2015a-b^2-b=0

Question

Für die Aufgabe:

a² +2015a-b²-b=0

erhalte ich als eine mögliche Lösung:

a=506521 und b=507527

Warum sind keine größeren natürlichen Zahlen als Lösung möglich?

Comments

Ich weiss jetzt nicht, welche Methoden dir zur Verfügung stehen. Hier mal ein paar grundlegende Dinge:

a² +2015a-b²-b=0

a(a+2015) = b(b+1) 

Auf beiden Seiten steht ungefähr eine Quadratzahl. Zudem müssen beide Seiten die gleiche Faktorzerlegung haben.

(a+b)(a-b) = b - 2015a 

Auch hier müssen rechts und links die gleichen Faktoren drinn sein. 

Gemäss: https://www.wolframalpha.com/input/?i=a%28a%2B2015%29+%3D+b%28b-1%29+

gibt es 96 ganzzahlige Lösungspaare. Du kannst dir viele anzeigen lassen (drücke more). Vielleicht kann ein Vergleich dieser Lösungspaare deine Frage beantworten.

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https://www.mathelounge.de/215355/mehr-als-eine-losung-fur-a-a-2015-b-b-1-moglich

Answer 1

Substituiere \(x=a-506521\) und \(y=b-507527\) und erhalte $$x^2+1015057x=y^2+1015055y.$$Schließe daraus, dass gilt$$(x+y)(x-y+1)=1015056(y-x).$$Folgere daraus die Behauptung.

Answer 2

Die Aufgabe enthält auch die dritte binomische Formel ! Denkanstoß.