Logarithmus umwandeln in Summe / Produkt

Question

Schreibe als Summe oder Produkt von "einfachen" Logarithmen.

a) \( \log _{a}\left(a^{2} b c^{3}\right) \)

b) \( \log _{a} \sqrt[3]{x^{2} y^{5}} \)

 

Bei der a) bin ich auf folgende Summe gekommen:

2*log_a(a) + log_a(b) + 3*log_a(c)

Bei der b) habe ich Schwierigkeiten.

Answer 1

Bei der a) hast du die Logarithmengesetze richtig angewandt.
Bei der b) Aufgabe musst du nur zusätzlich die Wurzelgesetze anwenden.
Die dritte Wurzel aus (x hoch zwei mal y hoch 5) ist gleich dritte Wurzel aus x hoch zwei mal dritte Wurzel aus x hoch 5. Wurzeln können und sollten hier in Potenzschreibweise umgewandelt werden. Die dritte Wurzel aus (x hoch 2) ist gleich x hoch drei Halbe bzw. 1,5 und die dritte Wurzel aus (y hoch 5) ist gleich y hoch drei Fünftel bzw. 0,6. Diese Exponenten werden dann auch als Bruch einfach als Faktor vor log gesetzt.

Answer 2

a) ist so weit ich sehe in Ordnung.

b) Schreibe

log_(a) ^{1/3}√(x^2 y^5) = log_(a) ((x^2 y^5)^{1/3}) 

= 1/3 * log_(a) (x^2 y^5) 

= 1/3 * (2 log_(a)(x) + 5 log_(a)(y))

= 2/3 log_(a)(x) + 5/3 log_(a)(y)